Теорема Штольца
    
    Содержание работы:
    
    1. Формулировка и доказательство теоремы Штольца.
    2. Применение теоремы Штольца:
    a) ;
    b) нахождение предела "среднего арифметического" первых n значений варианты ;
    c) ;
    d) .
    3. Применение теоремы Штольца к нахождению некоторых пределов отношения последовательностей.
    4. Нахождение некоторых пределов отношения функций с помощью теоремы Штольца.
    
    Для определения пределов неопределенных выражений типа часто бывает полезна следующая теорема, принадлежащая Штольцу.
    Пусть варианта , причем - хотя бы начиная с некоторого листа - с возрастанием n и возрастает: . Тогда =,
    Если только существует предел справа (конечный или даже бесконечный).
    Допустим, что этот предел равен конечному числу :
    .
    Тогда по любому заданному найдется такой номер N, что для n>N будет
    
    или
    .
    Значит, какое бы n>N ни взять, все дроби , , ..., , лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания yn вместе с номером n, положительны, то между теми же границами содержится и дробь , числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель - сумма всех знаменателей. Итак, при n>N
    .
    Напишем теперь тождество:
    ,
    откуда
    .
    Второе слагаемое справа при n>N становится N, то для n>N', очевидно, , что и доказывает наше утверждение.
    
    Примеры:
    1. Пусть, например, . Отсюда, прежде всего вытекает, что (для достаточно больших n) , следовательно, вместе с yn и xn, причем варианта xn возрастает с возрастанием номера n. В таком случае, доказанную теорему можно применить к обратному отношению
    
    (ибо здесь предел уже конечен), откуда и следует, что , что и требовалось доказать.
    
    2. При а>1
    
    Этот результат с помощью теоремы Штольца получается сразу:
    
    
    3. Применим теорему Штольца к доказательству следующего интересного предложения:
    Если варианта anимеет предел (конечный или бесконечный), то этот же предел имеет и варианта
    
    ("среднее арифметическое" первых n значений варианты аn).
    Действительно, полагая в теореме Штольца
    Xn=a1+a2+...+an, yn=n,
    Имеем:
    
    Например, если мы знаем, что ,
    то и
    
    4. Рассмотрим теперь варианту (считая k-натуральным)
    ,
    которая представляет неопределённость вида .
    Полагая в теореме Штольца
    xn=1k+2k+...+nk, yn=nk+1,
    будем иметь
    .
    Но
    (n-1)k+1=nk+1-(k+1)nk+... ,
    так что
    nk+1-(n-1)k+1=(k+1)nk+...
    и
    .
    
    5. Определим предел варианты
    ,
    представляющей в первой форме неопределенность вида , а во второй - вида . Произведя вычитание дробей, получим на этот раз неопределенное выражение вида :
    .
    Полагая xn равным числителю этой дроби, а yn - знаменателю, применим еще раз ту же теорему. ............