Теорема вириала в преподавании физики и астрономии
    А. И. Иванов, Л. П. Казанцева
    Работа выполнена в предвидении изменения срока и содержания обучения в средней школе. В работе предлагается включить в программу обучения теорему вириала, что будет способствовать усилению связи в преподавании физики и астрономии, генерализации естественнонаучных знаний на основе общих закономерностей. Авторы приглашают к обсуждению целесообразности и возможности включения излагаемого фрагмента в содержание обучения физике и астрономии.
    1. Теорема вириала утверждает, что для системы взаимодействующих частиц, находящихся в состоянии динамического равновесия, в том случае, когда все силы, действующие на частицы, являются внутренними по отношению к системе и обратно пропорциональны квадрату расстояния, средняя кинетическая энергия частиц равна половине среднего значения потенциальной энергии системы взаимодействующих тел, взятой с обратным знаком [1], т.е. выполняется равенство
    . . . . . . . . . . (1)
    Потенциальная энергия взаимодействия тел в гравитационном поле также, как энергия взаимодействия электрических зарядов, является отрицательной [2], в отличие от кинетической, которая является всегда величиной положительной.
    Строгое доказательство теоремы вириала достаточно сложно и связано с анализом дифференциальных уравнений, поэтому в условиях средней школы приходится иллюстрировать её на простых примерах.
    Пусть искусственный спутник массой m движется со скоростью по замкнутой траектории на среднем расстоянии от центра Земли, имеющей массу . Кинетическая энергия спутника равна
    =,
    а его потенциальная энергия
    = - ,
    где - гравитационная постоянная.
    При движении спутника в гравитационном поле Земли на него действует центростремительная сила
    =
    Центростремительной силой, удерживающей спутник около Земли, является сила тяготения, обусловленная гравитационным взаимодействием между Землёй и спутником. По абсолютной величине она равна:
    =
    Следовательно, имеет место равенство
    = . . . . . . . . . . . .(2)
    Умножив обе части этого равенства на , получим
    =. . . . . . . . . . . (3)
    Таким образом, для энергетического состояния системы "Земля - спутник" справедлива теорема вириала.
    В работе [3] применена теорема вириала при исследовании энергетического состояния лёгких атомов и их ионов. Результаты вычисления при этом хорошо согласуются с экспериментальными данными.
    2. "Висячий" спутник Земли.
    Для осуществления устойчивой межконтинентальной радио- и телевизионной связи в настоящее время широко используется искусственный спутник Земли.
    Поставим себе задачу: на какую высоту следует "забросить" над экватором искусственный спутник Земли, чтобы он неподвижно висел для наблюдателя, находящегося на Земле? Конечно, в этом случае спутник и точка его запуска на экваторе должны двигаться в пространстве с одинаковой угловой скоростью.
    Теорема вириала в этом случае будет иметь вид
    =,
    где: m - масса спутника,
    - масса Земли, равная
    - гравитационная постоянная
    - расстояние от центра Земли до спутника,
    - экваториальный радиус Земли, равный 6378 км.
    Из теоремы вириала следует
    v
    При этом v- квадрат линейной скорости спутника. ............