Теоремы Перрона-Фробеніуса та Маркова
    
    В роботі дано елементарне доведення відомих теорем Перрона-Фробеніуса та Маркова для матриць другого порядку. Робота має певну методичну цінність і може бути використана на заняттях шкільних гурків та факультативів
     Відомо [[1]-[10]], яку важливу роль відіграють невід'ємні матриці в математичних моделях економіки, біології, теорії ймовірностей тощо.
     Одними з основоположних фактів теорії цих матриць є теореми Перрона. Перрона-Фробеніуса та Маркова. Доведення цих теорем в загальному випадку потребує застосування теорем з таких неелментарних розділів математики, як теорія екстремумів функції багатьох змінних, жорданова нормальна форма тощо.
     Мета роботи дати елементарне доведення вищезгаданих теорем Перрона, Перрона-Фробеніуса та Маркова для матриць другого проядку, яке цілком доступне і для школярів 9-го класу. Це дозволить, наприклад, на заняттях шкільних математичних гуртків чи факультативів розглянути та проаналізувати змістовні математично-економічні та теоретико-ймовірносні моделі (наприклад, модель Леонтьєва, випадкове блукання на відрізку) з повним доведенням всіх тверджень.
    1. Необхідні відомості з теорії матриць.
    Матриця розмірів m x n - це прямокутна таблиця чисел з m рядків та n стовпців. Позначається матриця так:
    
    
     Квадратною матрицею n-го порядку зветься матриця розміром n x n. Важливою числовою характеристикою матриці є її визначник, який позначається detA. Для 2x2 матриці . Матриці А та В однакових розмірів називаються рівними, якщо іх відповідні елементи однакові, що записують так: А=В.
    
     З матрицями можна здійснювати такі операції:
    1. Множити на число
    Приклад:
    2. Додавати матриці однакових розмірів:
    Приклад:
    
    3. Множити матриці:
    Приклад:
     Взагалі, добутком матриці А розмірів m x r та матриці В розмірів r x n називається матриця С розмірів m x n, яка позначається АВ. Елемент cij цієї матриці - це сума попарних добутків елементів i-го рядка матриці А та елементів j-го рядка матриці В, а саме:
     Якщо А та В квадратні матриці однакового порядку, то їх завжди можна перемножити.
     Квадратна матриця порядку n, у якої єлементи , а інші елементи є нулями, називається одиничною матрицією порядку n. Однична матриця має таку властивість: АЕ=ЕА=А, де А - квадратна матриця порядку n, Е - одинична матриця такого ж порядку.
     Нехай А - квадратна матриця, тоді матриця А-1 зветься оберненою до матриці А, якщо
     Не в кожної матриці є обернена до неї, а саме А-1 існує тоді і тільки тоді, коли .
     Беспосередньо можна первірити, що для
    
    
    Визначення: Число ? називається власним значенням n x n матриці А, якщо знайдется стовпчик такий, що АХ=?Х. При цьому Х називається власним вектором матриці А, що відповідає власному значенню ?.
     Якщо власний вектор Х відповідає власному значенню ?, то сХ, де с - const, також власний вектор, що відповідає ?. Власне значення є коренем характеристичного рівняння . Звідки видно, що не у кожної матриці є власні значення.
    
    Визначення: Матриця А зветься додатною, якщо всі її елементи додатні, це позначається А>0.
    
     Теорема Перрона: Нехай А - додатна матриця, тоді А має додатне власне значення r>0 таке, що:
     1. ............