Реферат

на тему:

"Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя"

1. Теорема Ролля

Знание производной некоторой функции позволяет судить о характерных особенностях в поведении этой функции. В основе всех таких исследований лежат некоторые простые теоремы, называемые теоремами о среднем в дифференциальном исчислении.

Начнем рассмотрение таких теорем с теоремы, связываемой с именем французского математика Ролля (1652–1719).

Теорема 1.1. Если функция  непрерывна на отрезке , дифференцируема во всех его внутренних точках, а на концах отрезка ,  обращается в ноль, то существует, по крайней мере, одна точка , в которой .

Доказательство. Так как функция непрерывна на отрезке , то, согласно свойству 11.1.1, она должна достигать хотя бы один раз на этом отрезке своего минимума  и максимума  (рис. 1.1).

Если , функция постоянна, то есть . Но в этом случае  для любого .

В общем случае , и хотя бы одно из этих чисел не равно нулю. Предположим для определенности, что . Тогда существует точка , в которой .

Рис. 1.1

Так как рассматриваемое значение  является максимальным, то для него справедливо, что  для  и .

Рассмотрим пределы

 для

и

 для .

Так как оба предела равны производной функции  в одной и той же точке , то они равны между собой. Значит, из одновременности  и  следует, что , что и требовалось доказать.

Следует отметить, что данная теорема справедлива и в том случае, когда на концах отрезка  функция не обращается в ноль, но принимает равные значения . Доказательство проводится аналогично.

Геометрический смысл данной теоремы следующий: если непрерывная кривая пересекает ось  в двух точках ,  или принимает в них равные значения, то, по крайней мере, в одной точке между  и  касательная к кривой параллельна оси .

Необходимо отметить, что если не во всех точках  у рассматриваемой функции существует производная, то теорема может не выполняться. Это касается, например, функции  (рис. 1.2):

Рис. 1.2

Данная функция непрерывна на отрезке  и обращается в ноль на его концах, но ни в одной точке внутри отрезка производная не равна нулю.

2. Теорема Лагранжа

Результаты теоремы Ролля используются при рассмотрении следующей теоремы о среднем, принадлежащей Лагранжу (1736–1813).

Теорема. Если функция  непрерывна на отрезке  и дифференцируема во всех его внутренних точках, то существует, по крайней мере, одна точка , в которой .

Доказательство. Рассмотрим график функции  (рис. 2.1).

Проведем хорду, соединяющую точки  и , и запишем ее уравнение. Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две точки на плоскости, получим:

,

откуда:

Рис. 2.1

 и .

Составим теперь вспомогательную функцию, вычтя из уравнения кривой уравнение хорды:

.

Полученная функция  непрерывна на отрезке  и дифференцируема во всех его внутренних точках. Кроме того, вычисление  в точках  и  показывает, что . Значит, функция  на отрезке  удовлетворяет требованиям теоремы Ролля. Но в этом случае существует такая точка , в которой .

Вычислим производную функции :

.

Согласно теореме Ролля в точке  производная , то есть  и

,

что и требовалось доказать.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа следующий: внутри отрезка  существует, по крайней мере, одна точка, в которой касательная параллельна хорде, стягивающей кривую на данном отрезке. ............