МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины »

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Допущена к защите

Зав. кафедрой _________ Шеметков Л.А.

 

«_____» ____________ 2006 г.

ТЕОРИЯ ОСТАТКОВ

 

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА

 

Исполнитель:

студентка группы М-52 ____________ Клименко Ю.

Научный руководитель:

к.ф-м.н., доцент кафедры

алгебры и геометрии ____________ Подгорная В.

Рецензент:

ст. преподаватель

кафедры высшей

математики ____________ Курносенко Н.

Гомель 2008

Содержание

Введение. 3

1 Алгоритм Евклида. 4

1.1 Определения алгоритма. 4

1.2 Алгоритм Евклида. 5

1.3 Применения алгоритма Евклида. 12

2 Делимость в кольцах. 17

2.1 Область целостности. 17

2.2 Кольцо частных. 19

2.3 Евклидовы кольца. 21

3 Сравнения и арифметика остатков. 27

4 Функция Эйлера. 41

5 Китайская теорема об остатках. 53

Заключение. 62

Список использованных источников. 63

Введение

История арифметики остатков начинается с исследований К.Ф. Гаусса, который впервые стал рассматривать сравнения. В дальнейшем была обнаружена связь теории сравнений с астрономическими задачами (китайская теорема об остатках). В результате многочисленных исследований теория остатков была распространена на кольца произвольной природы. В последнее время обнаружилось приложение этой теории в криптографии. В дипломной работе изложена теория остатков на современном алгебраическом языке.

Дипломная работа состоит из пяти разделов.

В первом разделе изложено понятие остатка, наибольшего общего делителя, алгоритма Евклида, расширенного алгоритма Евклида и применение алгоритма Евклида для решения линейных диофантовых уравнений и разложение чисел в цепные дроби.

Во втором разделе изложен алгебраический подход к делимости в кольцах. Рассмотрена область целостности, кольцо частных и евклидовы кольца.

В третьем разделе изложены теории вычетов по модулю и теория сравнений. Приведено применении теории остатков в криптографии (алгоритм RSA).

В четвертом разделе изложена теория мультипликативных функция и подробно рассмотрена функция Эйлера, с её свойствами.

В пятом разделе изложена китайская теорема об остатках для колец.

1 Алгоритм Евклида   1.1 Определения алгоритма

Единого «истинного» определения понятия «алгоритм» нет.

«Алгоритм — это всякая система вычислений, выполняемых по строго определённым правилам, которая после какого-либо числа шагов заведомо приводит к решению поставленной задачи.» (А. Колмогоров)

«Алгоритм — это точное предписание, определяющее вычислительный процесс, идущий от варьируемых исходных данных к искомому результату.» (А. Марков)

«Алгоритм есть формализованная последовательность действий (событий). Алгоритм может быть записан словами и изображен схематически. Практически любое неслучайное повторяемое действие поддается описанию через алгоритм.»

«Алгоритм — это система операторов, взятых из множества операторов некоторого исполнителя, которая полностью определяет некоторый класс алгоритмических процессов, то есть процессов, которые:

1.  дискретны;

2.  детерминированы;

3.  потенциально конечны;

4.  преобразовывают некоторые конструктивные объекты. ............