Введение
    Одной из основных задач теории автоматического регулирования является изучение динамических процессов, происходящих в автоматических системах. Автоматические системы при нормальной эксплуатации должны поддерживать определенный режим работы объекта регулирования при действии на него многих возмущающих факторов. Такое поведение может быть достигнуто лишь в системах автоматического регулирования, обладающих устойчивостью по отношению к этим воздействиям. Устойчивость системы означает, что малое изменение входного сигнала или какого-нибудь возмущения, начальных условий или параметров не приведут к значительным отконениям выходного сигнала. Это определение раскрывает физический смысл понятия устойчивости.
    Теория устойчивости, основоположниками которой являются великий русский ученый А.М. Ляпунов и великий французский ученый А.Пуанкаре, представляет собой важный раздел прикладной математики. Создателями современной теории устойчивости являются русские ученые Н.Г. Четаев, Е.А. Барбашин, Н.П. Еругин, Н.Н. Красовский.
    
    
     1. Понятие устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости по Ляпунову.
    Рассмотрим задачу Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений
    
    x' = f ( t , x )
    
     (1) с начальными условиями x ( t0 ) = x0 (2) где x = ( x1, x2, ... , xn ) - n - мерный вектор; t ? I = [t0, + ? [ - независимая переменная, по которой производится дифференцирование; f ( t, x ) = ( f1 ( t , x ) , f2 ( t , x ) , ... , fn ( t , x ) ) - n - мерная вектор - функция.
    Комментарии к задаче Коши (1), (2). Для простоты восприятия эту задачу можно сначала трактовать как задачу Коши для скалярного дифференциального уравнения первого порядка вида x'= f ( t , x ) с начальным условием x ( t0 ) = x0. С целью упрощения все рисунки п. 10 ,если нет специальных оговорок, приводится для случая n = 1.
    
    x
    0 t
    Рис.1
    Так как задача теории устойчивости впервые возникла в механике, то переменную t принято интерпретировать как время, а искомую вектор-функцию x ( t ) - как движение точки в зависимости от времени в пространстве Rn+1 (рис.1)
    Пусть задача Коши (1), (2) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности. Тогда через каждую точку ( t0 , x0 ) области единственности решений проходит только одна интегральная кривая. Если начальные данные ( t0 , x0 ) изменяются, то изменяется и решение. Тот факт, что решение зависит от начальных данных, обозначается следующим образом: x ( t ) = x ( t ; t0 , x0 ). Изменение этого решения в данной математической модели с изменением начальных данных ( t0 , x0 ) приводят к существенному изменению решения x ( t ; t0 , x0 ) , приводит к тому, что такой моделью нельзя пользоваться, поскольку начальные данные ( t0 , x0 ) получаются из опыта, а изменения не могут быть абсолютно точными. Естественно, что в качестве математической модели пригодна лишь та задача Коши, которая устойчива к малым изменениям начальных данных.
    Определим понятие устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости в смысле Ляпунова. Для этого отклоение решения x ( t ) = x ( t ; t0 , x0 ) , вызванное отклонением ? x0 начального значения x0 , будем записывать следующим образом:
    | x ( t ; t0 , x0 + ? x0 ) - x ( t ) | = | x ( t ; t0 , x0 + ? x0 ) - x ( t ; t0 , x0 ) |.
    
    Определение 1. ............