Задание 1

Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен равна 0,7; второй – 0,95; третий – 0,45. Вычислить вероятность того, что студент сдаст:

а)      один экзамен;

б)      ни одного экзамена;

в)       хотя бы два экзамена.

 

Решение:

а)      Введем обозначения:

событие А – «студент сдаст только один экзамен»;

событие А1 - «студент сдаст 1-ый экзамен»

событие А2 - «студент сдаст 2-ой экзамен»

событие А3 - «студент сдаст 3-ий экзамен»

В соответствии с условием задачи:

Р(А1)=0,7            Р(А2)=0,95          Р(А3)=0,45

Тогда противоположные события, т.е. события «студент не сдаст i-ый экзамен» , имеют вероятности, соответственно:

, ,

Событие А можно представить в виде:

Указанные слагаемые представляют собой несовместные события, поэтому по теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем:

.

Так как события  независимые, то, применяя теорему умножения вероятностей независимых событий, имеем:

Таким образом, вероятность того, что студент сдаст только один экзамен, равна

б)      Введем обозначения:

событие В – «студент не сдаст ни одного экзамена»;

Таким образом, вероятность того, что студент не сдаст ни одного экзамена, равна

в)      Введем обозначения:

событие С – «студент сдаст хотя бы два экзамена»,

Так как в результате данного испытания могут появиться три события: , то появление хотя бы двух из них означает наступление либо двух, либо трех событий.

Следовательно, применяя теорему появления независимых событий, имеем:

Таким образом, вероятность того, что студент сдаст хотя бы два экзамена, равна

Ответ: ; ;

Задание 2

На фабрике производятся швейные изделия. Вероятность появления брака равна 0,10. Была введена упрощенная сиситема контроля изделий, состоящая из двух независимых проверок. В результате k-ой проверки (k=1, 2) изделие удовлетворяющее стандарту, отбраковывается с вероятностью, , а бракованное изделие принимается с вероятностью . Изделие принимается, если оно прошло обе проверки. Найти вероятности событий:

а)      бракованное изделие будет принято;

б)      изделие, удовлетворяющее стандарту, будет отбраковано;

в)       случайно взятое на проверку швейное изделие будет отбраковано;

г)       отбракованное изделие удовлетворяет стандарту;

д)      из 5 изделий, взятых на проверку, 1 изделие будет удовлетворять стандарту.

 ; ; ;

 

Решение:

Пусть А – событие, состоящее в том, что изделие удовлетворяет стандарту,  - изделие не удовлетворяет стандарту,  - изделие принимается при k-ой проверке;  - изделие бракуется при k-ой проверке.

а)      определим вероятность того, что бракованное изделие будет принято. Так как заранее известно, что изделие с браком, то вероятность события  не учитывается. Чтобы это изделие было принято, должно произойти событие , т.е. бракованное изделие принимается полсе обеих проверок. Вероятность этого события равна:

б)      найдем вероятность того, что изделие, удовлетворяющее стандарту, будет отбраковано. Здесь известно по условию, что оно уже удовлетворяет стандарту. Значит соответствующее событие будет равно сумме двух событий: 1 – изделие отбраковано при первой проверке ; 2 – изделие было принято при первой проверке, но отбраковано при второй: . ............