Контрольная работа
по дисциплине
Теория вероятностей
Решение задач
Задание 1
Имеется четверо мужчин и шесть женщин. Каждый мужчина женился на одной из женщин. Сколькими способами это можно сделать?
Решение:
A(4;6) = 6!/2! = 3*4*5*6 = 360
Ответ: 360 способов
Задание 2
В ожесточенном бою не менее 70% бойцов потеряли один глаз, не менее 75% - одно ухо, не менее 80% - одну руку, не менее 85% - одну ногу. Какое минимальное число потерявших одновременно глаз, ухо, руку, ногу?
Решение: Я решила данную задачу двумя способами.
1. Т(Ч+Н)=Т(Ч)+Т(Н)-Т(ЧН)б
где X+Y означает объединение множеств X и Y, XY - пересечение, функция N - число элементов множества. Обозначим через A, B, C, D - множества бойцов, потерявших глаз, ухо, руку, ногу. В данном примере обозначим через N - процентное содержание множества.
Тогда
N(AB)=N(A)+N(B)-N(A+B)>=70+75-100=45
Аналогично
N(CD)=N(C)+N(D)-N(C+D)>=80+85-100=65.
Окончательно имеем
Т(ФИСВ)=Т(ФИ)+Т(СВ)-Т(ФИ+СВ)Ю=45+65-100=10ю
2. Всего 100%. Минус 30% тех, кто имеет оба глаза, минус 25% оба уха, минус 20% обе руки и 15% обе ноги. 100-30-25-20-15 = 10 процентов минимум
Ответ: минимальное число потерявших одновременно глаз, ухо, руку, ногу составляет 10 %.
Задание 3
Двое поочередно бросают монетку. Выиграет тот, у кого раньше выпадет герб. Определить вероятность выигрыша для каждого игрока.
Решение:
A = {выиграл тот, кто начал бросать монетку первым}
A = A1 + A2 + A3 + ... A1 = {у первого игрока выпал герб}
A2 = {у первого игрока выпала решка, у второго - решка, у первого - герб}
A3 = {у первого игрока выпала решка, у второго - решка, у первого - решка, у второго - решка, у первого - герб} и так далее
P(A1) = 1/2 P(A2) = (1/2)*(1/2)*(1/2) = (1/2)*(1/4) P(A3) =
(1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2) = (1/2)*(1/4)*(1/4) = (1/2)*((1/4)^2)
и так далее
P(A) = P(A1+A2+A3+...) = [события A1, A2, A3, ... несовместны] =
P(A1) + +P(A2) + P(A3) + ... = (1/2) + (1/2)*(1/4) + (1/2)*((1/4)^2) + ... =
[сумма геометрической прогрессии] = (1/2)/(1 - 1/4) = (1/2)/(3/4) = 2/3
P(A) = 2/3 B = {выиграл тот, кто начал бросать монетку вторым} B = не
A P(B) = P(не A) = 1 - P(A) = 1 - 2/3 = 1/3
Ответ: для первого 2/3, для второго 1/3.
Задание 4
В кошельке лежат 8 монет достоинством по 5 копеек и 2 монеты достоинством в 3 копейки. Наудачу выбирается монета и бросается 5 раз. Какова вероятность того, что в сумме будет 15 очков, если "герб" принимается за "0"?
Решение:
H1 = {монета в 5 копеек} H2 = {монета в 3 копейки} P(H1) = 8/10 = 0.8 P(H2) = 2/10 = 0.2 A = {в сумме будет 15 очков при 5 бросаниях} A
H1 = {в сумме будет 15 очков при 5 бросаниях, если бросается монета в 5 копеек} = {при 5 бросаниях 3 решки и 2 герба} A
H2 = {в сумме будет 15 очков при 5 бросаниях, если бросается монета в 3 копейки} = {при 5 бросаниях 5 решек} n = 5 p = 1/2 - вероятность выпадения решки q = 1 - p = 1/2 m - количество бросаний, при которых выпадет решка P(A
Р1 = З(ь=3) = С(3ж5)*((1.2):3)*((1.2):2) = 10*(1.8)*(1.4) = 10.32 =0ю3125 З(Ф/Р2) = З(ь=5) = (1.2):5 = 1.32 = 0.03125 По формуле полной вероятности З(Ф) = З(Р1)З(Ф/Р1) + З(Р2)З(Ф/Р2) = (0ю8)*(0ю3125) + (0ю2)*(0ю03125) = 0ю25+ +0ю00625 = 0ю25625
Ответ: если бросается монета в 5 копеек 0.3125
если бросается монета в 3 копейки 0.03125
полная вероятность 0.25625
Задание 5
Для лица, дожившего до 20-летнего возраста, вероятность смерти на 21-м году жизни равна 0,006. Застрахована группа в 15000 человек 20-летнего возраста, причем каждый застрахованный внес по 20 у.е. ............
