Математический аппарат современной экономики часто используется на основе традиционной теории вероятности, однако сама теория вероятности основана на системе аксиом. Для этой теории характерна частотная интерпретация вероятности события: мы не знаем, каков будет исход данного конкретного эксперимента, но знаем, какова доля того или иного исхода во множестве всех возможных исходов эксперимента, многократно поставленного при неизменных начальных условиях. В теории вероятности предполагается, что случайные величины распределены по некоторому распределению. В этом случае расчеты существенно упрощаются. Такое предположение не лишено оснований, скажем, при планировании инвестиций, при моделировании физических процессов (существует теорема о том, что среднее от независимых случайных величин, распределенных по произвольным законам, распределено по Гауссу). Итак, в своем эссе я рассмотрю случайные величины и функции распределения. Случайные величины Определение. Пусть - произвольное вероятностное пространство. Случайной величиной называется измеримая функция , отображающая в множество действительных чисел , т.е. функция, для которой прообраз любого борелевского множества есть множество из -алгебры . Примеры случайных величин. 1) Число выпавшее на грани игральной кости. 2) Размер выпускаемой детали. 3) Расстояние от начала координат до случайно брошенной в квадрат точки . Множество значений случайной величины будем обозначать , а образ элементарного события - . Множество значений может быть конечным, счетным или несчетным. Определим -алгебру на множестве . В общем случае -алгебра числового множества может быть образована применением конечного числа операций объединения и пересечения интервалов или полуинтервалов вида (), в которых одно из чисел или может быть равно или . В частном случае, когда - дискретное (не более чем счетное) множество, -алгебру образуют любые подмножества множества , в том числе и одноточечные. Таким образом -алгебру множества можно построить из множеств или , или . Будем называть событием любое подмножество значений случайной величины : . Прообраз этого события обозначим . Ясно, что ; ; . Все множества , которые могут быть получены как подмножества из множества , , применением конечного числа операций объединения и пересечения, образуют систему событий. Определив множество возможных значений случайной величины - и выделив систему событий , построим измеримое пространство . Определим вероятность на подмножествах (событиях) из таким образом, чтобы она была равна вероятности наступления события, являющегося его прообразом: . Тогда тройка назовем вероятностным пространством случайной величины , где - множество значений случайной величины ; - -алгебра числового множества ; - функция вероятности случайной величины . Если каждому событию поставлено в соответствие , то говорят, что задано распределение случайной величины . Функция задается на таких событиях (базовых), зная вероятности которых можно вычислить вероятность произвольного события . Тогда событиями могут быть события . Функция распределения и ее свойства Рассмотрим вероятностное пространство , образованное случайной величиной . Определение. Функцией распределения случайной величины называется функция действительного переменного , определяющая вероятность того, что случайная величина примет в результате реализации эксперимента значение, меньшее некоторого фиксированного числа : (1) Там где понятно, о какой случайной величине , или идет речь, вместо будем писать . ............