Московский авиационный институт

(технический университет)

Курсовая работа

 

Дисциплина: Теория вероятности и математическая статистика

Выполнил

студент группы Р 2/1

Истелюев Батырбек.

Ахтубинск-2004

Задания

1.  Проверить выполнение теоремы Бернулли на примере электрической схемы.

2.  Методом дискретных случайных величин смоделировать случайную величину, имеющую закон распределения Пуассона. Заполнить массив из 300 точек.

3.  Критерием Колмогорова проверить, что данный массив имеет соответствующий закон распределения.

Краткая теория

 

В теории вероятности часто встречается такой характер приближения одних величин к другим, и для его описания введен специальный термин: «сходимость по вероятности».

Говорят, что величина Xn сходится по вероятности к величине а, если при сколь угодно малом е вероятность неравенства │Xn–a│<e с увеличением неограниченно приближается к единице. Применяя этот термин, можно сказать, что при увеличении числа опытов частота события не стремится к вероятности события, а сходится к ней по вероятности. Это свойство составляет содержание теоремы Бернулли.

Например, при бросании монеты 10 раз теоретически возможно, что все 10 раз появится герб, т.е частота появлений будет равна 1; при 1000 бросаниях такое событие возможно, но приобретает меньшую вероятность; при еще большом количестве бросаний вероятность становится на столько мала, что это событие можно считать практически неосуществимым.

Теорема Я. Бернулли: при увеличении количества опытов, частота появлений событий сходится по вероятности к вероятности этого события.

Теорема Я. Бернулли утверждает устойчивость частоты при постоянных условиях опыта. Но при изменяющихся условиях опыта аналогичная устойчивость также существует. Теорема, устанавливающая свойство устойчивости частот при переменных условиях опыта, называется теоремой Пуассона.

Закон Пуассона.

Рассмотрим случайную величину Х, которая может принимать целые, неотрицательные значения: 0,1,2,…,m,…

Говорят, что эта СВ Х распределена по закону Пуассона, если вероятность того, что она примет определенное значение m, выражается формулой:

Pm=(am/m!)*e-a (m=0,1,2…), a – некоторая положительная величина называемая параметром закона Пуассона.

Ряд распределения СВ Х, распределенный по закону Пуассона, имеет вид:

xm 0 1 2 … m … pm e-a (a/1!)*e-a (a2/2!)*e-a … (am/m!)*e-a …

Математическое ожидание данного распределения случайной величины равно параметру закона Пуассона а: mx=a; Дисперсия также равна этому параметру: Dx=a. Таким образом дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона равна ее математическому ожиданию и равна параметру а.

Это свойство применяется на практике для решения вопроса, правдоподобна ли гипотеза о том, что случайная величина Х, распределена по закону Пуассона, для этого определяют из опыта статистические характеристики: математическое ожидание и дисперсию. Если их значения близки, то гипотеза является правдоподобной.

Дискетной называется случайная величина, возможные значения которой есть отдельные изолированные числа (т.е. между двумя возможными соседними значениями нет возможных значений), которые эта величина принимает с определенными вероятностями. ............