Теплофизический расчет шара

 

Введение

Основной целью данного курсового проекта было: найти решение для задачи тепломассопереноса, с использованием различных математических методов. Для решения задачи использовался пакет MathCAD . Для определения эффективности и точности решения поставленной задачи, полученное решение анализируется и определяется оптимальный метод нахождения решения задачи.

1. Постановка задачи

Дан шар 2R, который находится в тепловом равновесии с окружающей средой, т.е. имеет температуру, равную температуре окружающей среды T0. В начальный момент времени среда нагревается с постоянной скоростью b (град/сек), т.е. температура среды есть линейная функция времени Tс(t ) = T0+bt . Теплообмен между поверхностями пластины и окружающей среды происходит по закону Ньютона. Требуется найти распределение температуры по толщине шара в любой момент времени, а также удельный расход тепла.

Также заданы начальные и граничные условия, которые описываются как:

T(r,0) = T0 = const,

Дифференциальное уравнение теплопроводности для шара может быть записано как:

2. Решение задачи

Решение задачи было получено для двух материалов: сталь и резина. Основные теплофизические характеристики веществ были сведены в таблицу (см. табл.1)

Таблица 1

    Материал
    удельная теплоемкость, С (Дж/(кг*К))
    плотность тела, ρ(кг/м³)
    коэффициент теплопроводности, λ (Вт/м*К)
    Сталь
    462
    7900
    45,4
    Резина
    1380
    1200
    0,16

Первым шагом в решении задачи было нахождение корней характеристического уравнения:

На основе полученных значений корней характеристического уравнения, для двух материалов построена таблица (табл.2).

Таблица 2

Материал 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Сталь 0 3.07 6.14 9.21 12.28 15.36 18.44 21.52 24.61 27.70 30.79 33.89 36.98 Резина 0 3.14 6.28 9.42 12.56 15.70 18.84 21.98 25.13 28.27 31.41 34.55 37.69

Найдя корни характеристического уравнения, можно найти безразмерную температуру и температуру тела в любой точке в любой момент времени:

        

Так как в начальный момент времени, шар только начинает прогреваться, то приведенная выше формула дает большие погрешности. Для уменьшения погрешности используют формулу для нахождения безразмерной температуры для малых значений Фурье:

Расчетные формулы имеют следующий вид:

Определяем температуру на поверхности и в центре шара:

Рис. 1. Зависимость между Θ и Fo для поверхности (1) и центра (2) шара (сталь).

Рис. 2. Зависимость между Θ и Fo для поверхности (1) и центра (2) шара (резина).

По результатам расчетов построены графики зависимости безразмерной температуры на поверхности и в центре шара, от величины Fo, для стали (Рис.1) и резины (Рис.2)

3. Результаты расчета

Найдя безразмерную температуру во всех точках шара, можно определить температуру в любых точках шара в любой момент времени:

Рис. 3. Распределение температуры по толщине шара (сталь).

Таблица 2.

T(r,1000) 273.64 273.64 273.65 273.67 273.68 273.71 273.74 273.78 273.82 273.87 273.92 T(r,3000) 433.34 433.40 433.55 433.80 434.15 434.61 435.16 435.82 436.57 437.43 438.39 T(r,6000) 1098.8 1098.9 1099.1 1099.5 1100.2 1100.9 1101.9 1102.9 1104.2 1105.7 1107.3

Рис. ............