Прежде чем приступить к рассмотрению центральной предельной теоремы, я считаю нужным сказать о слабой сходимости. Пусть задана последовательность случайных величин (далее с. в.) , задано некоторое распределение с функцией распределения и - произвольная с. в., имеющая распределение . Определение. Говорят, что последовательность с. в. при сходится слабо или по распределению к с. в. и пишут: , или , или , если для любого такого, что функция распределения непрерывна в точке , имеет место сходимость при . Иначе говоря, слабая сходимость - это поточечная сходимость функций распределения во всех точках непрерывности предельной функции распределения. Свойство 1. Если , и функция распределения непрерывна в точках и , то
    и т.д. (продолжить ряд). Наоборот, если во всех точках и непрерывности функции распределения имеет место, например, сходимость , то . Следующее важное свойство уточняет отношения между сходимостями. Свойство 2. 1. Если , то . 2. Если , то . Свойство 3. 1. Если и , то . 2. Если и , то . Несколько содержательных примеров слабой сходимости я рассмотрю ниже. Но основной источник слабо сходящихся последовательностей и необычайно мощное и универсальное средство для асимптотического анализа распределений сумм независимых и одинаково распределенных случайных величин предоставляет нам центральная предельная теорема. Я буду называть следующее утверждение "ЦПТ Ляпунова" (А. М. Ляпунов: 1901), но сформулирую и докажу теорему Ляпунова только в частном случае, т.е. для последовательности независимых и одинаково распределенных случайных величин. Центральная предельная теорема. Пусть - независимые и одинаково распределенные случайные величины с конечной и ненулевой дисперсией: . Обозначим через сумму первых случайных величин: . Тогда последовательность случайных величин слабо сходится к стандартному нормальному распределению. Доказательство. Пусть - последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин с конечной и ненулевой дисперсией. Обозначим через математическое ожидание и через - дисперсию . Требуется доказать, что
     Введем стандартизированные случайные величины - независимые с.в. с нулевыми математическими ожиданиями и единичными дисперсиями. Пусть есть их сумма . Требуется доказать, что Характеристическая функция величины равна
     Характеристическую функцию с.в. можно разложить в ряд Тейлора, в коэффициентах которого использовать известные моменты , . Получим Подставим это разложение, взятое в точке , в равенство и устремим к бесконечности. Еще раз воспользуемся замечательным пределом: В пределе получили характеристическую функцию стандартного нормального закона. По теореме о непрерывном соответствии можно сделать вывод о слабой сходимости :
     распределений стандартизованных сумм к стандартному нормальному распределению, что и утверждается в ЦПТ. Пользуясь определением и свойствами слабой сходимости, и заметив, что функция распределения любого нормального закона непрерывна всюду на , утверждение ЦПТ можно сформулировать любым из следующих способов: Следствие. Пусть - независимые и одинаково распределенные случайные величины с конечной и ненулевой дисперсией. Следующие утверждения эквивалентны друг другу и равносильны утверждению ЦПТ. ............