Содержание

Задание на курсовую работу ....................................................................... 2

Замечания руководителя .............................................................................. 3

1. Бесселевы функции с любым индексом ................................................... 5

2. Формулы приведения для бесселевых функций ..................................... 10

3. Бесселевы функции с полуцелым индексом ............................................. 13

4. Интегральное представление бесселевых функций с целым индексом .. 15

5. Ряды Фурье-Бесселя ................................................................................. 18

6. Асимптотическое представление бесселевых функций с целым индексом для больших значений аргумента ...................................................................................... 23

Список литературы ...................................................................................... 30

1. Бесселевы функции с любым индексом

Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах

Чтобы объяснить происхождение бесселевых функций, рассмотрим уравнение Лапласа в пространстве:

.                                                                                  (1)

Если перейти к цилиндрическим координатам по формулам:

,   ,   ,

то уравнение (1) примет следующий вид:

.                                                                  (2)

Поставим задачу: найти все такие решения уравнения, которые могут быть представлены в виде произведения трех функций, каждая из которых зависит только от одного аргумента, то есть найти все решения вида:

,

где , ,  предполагаются дважды непрерывно дифференцируемыми.

Пусть  есть решение упомянутого вида. Подставляя его в (2), получим:

,

откуда (после деления на )

.

Записав это в виде:

,

найдем, что левая часть не зависит от , правая не зависит от , ; следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная . Отсюда:

;     ;

;  ;

.

В последнем равенстве левая часть не зависит от , правая не зависит от ; следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная . Отсюда:

,    ;

,    .

Таким образом, , ,  должны удовлетворять линейным дифференциальным уравнениям второго порядка:

,

(3)

,     ,

из которых второе и третье есть простейшие линейные уравнения с постоянными коэффициентами, а первое является линейным уравнением с переменными коэффициентами нового вида.

Обратно, если , ,  удовлетворяют уравнениям (3), то  есть решение уравнения (2). В самом деле, подставляя  в левую часть (2) и деля затем на , получим:

.

Таким образом, общий вид всех трех решений уравнения (2), которые являются произведением трех функций, каждая из которых зависит от одного аргумента, есть , где , ,   – любые решения уравнений (3) при любом выборе чисел , .

Первое из уравнений (3) в случае ,  называется уравнением Бесселя. Полагая в этом случае , обозначая независимую переменную буквой  (вместо ), а неизвестную функцию – буквой  (вместо ), найдем, что уравнение Бесселя имеет вид:

.                                                                    (4)

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами играет большую роль в приложениях математики. Функции, ему удовлетворяющие, называются бесселевыми, или цилиндрическими, функциями.

Бесселевы функции первого рода

Будем искать решение уравнения Бесселя (4) в виде ряда:

.

Тогда

,

,

,

.

Следовательно, приходим к требованию

или к бесконечной системе уравнений

           ,

которая распадается на две системы:

                         

Первая из них удовлетворится, если взять … Во второй системе  можно взять произвольно; тогда … однозначно определяются (если  не является целым отрицательным числом). ............