Уравнения Курамото-Цузуки
    Дубровский А.Д., Заверняева Е.В. Введение
    На текущий момент разработано ряд математических моделей вида реакции-диффузии:
    
     (Q1, Q2 - нелинейные функции; ? - параметр системы) (1) в областях:
    Химии
    Пример. Автокаталитическая реакция.
    
    Для этой реакции соответствует задача:
     Экологии
    Теории морфогенеза
    Физики плазмы
    Теории горения
    Другие
    Требуется:
    классифицировать качественное поведение решения уравнений (1) в зависимости от различных правых частей
    классифицировать системы вида (1)
    В работе 1975 года Курамото и Цудзуки сделали вывод, что у большинства диссипативных систем существует аналог термодинамической ветви. При всех значениях параметра, исследуемые уравнения имеют однородное по пространству стационарное решение. Это решение устойчиво при ??0 решение остается в малой окрестности термодинамической ветви.
    Без ограничения общности, в уравнении (2) можно положить с0=0, в этом можно убедится сделав замену переменных W=W?exp(i c0 t). И так получается, вторая краевая задача при условии, что потоки на границе равны нулю:
     (3) Упрощенная модель
    Предположим, что в изучаемом решении системы (3) есть только две моды:
     (4) Остальными пренебрежем, поскольку коэффициенты Фурье решений быстро убывают с ростом их номера. Коэффициент k будем выбирать так, чтобы выполнялись граничные условия задачи (3), например: k=?/l. Подставим (4) в (3) и отбросим все члены, куда входит cos(?mx/l), m>1, считая, что они пренебрежимо малы.
     (5) Пусть (для удобства), то получается соотношения:
     (6) Сделаем замену переменных в (6)
     (7) Двухмодовая система
    Рассмотрим систему (7).
    Простейшие решения
    ?=0, ?=0, ?=2c1k2t+const - неустойчивый узел в системе (5).
    ?=0, ?=0, ?= ?(t), c12k4+2c1c2k2-1=0 - две особых точки седло и устойчивый узел. Узел теряет устойчивость на линии (c12+1)k4+2k2(1+c1c2)=0.
    ?=0, P(c1,c2,k)=(9c12+6c1c2-4-3c22)k4-2k2(3c1c2-4-3c22)-(4+3c22)
    P(c1,c2,k)?0, k-(4k2-1)2.
    P(c1,c2,k)>0 - инвариантная прямая, при k?. Сделаем замену переменных следующим образом:, получаем
     (8) Систему (8) имеет ограниченное решение при z>0. Особые точки и решения, которые возникают при x=0 или y=0, рассмотрены выше.
    Далее ограничим задачу, будем рассматривать систему (8) только при k=1.
    Режимы
    Система (8) - модель, в которой возникают различные режимы:
    Стационарный
    Простой предельный цикл
    Пример. c1=3,c2=-4;k=1;
    
    Сложный предельный цикл
    
    Атрактор
    
    Не исключено проявление квазиатрактора
    Данное проявление связанно с существованием нескольких различных в пространстве предельных областей, эти области могут находиться на очень близком расстоянии. В результате при численном анализе, траектория может скакать с одного решения на другое. Пример, существования двух областей притяжения на рис. ............