Великая теорема Ферма – два коротких доказательства

Бобров А.В.

123098, г. Москва, ул. Маршала Новикова, д.10, корп. 1, кв. 15

Контактный телефон – 193-42-34

         Последняя теорема Ферма, иногда называемая Великой, формулируется следующим образом:

         В равенстве  числа  и   не могут быть одновременно целыми положительными, если .

         Предположим, такие числа существуют. Тогда должны выполняться следующие условия:

·  Равенство справедливо для взаимно простых, не имеющих общих целых множителей, кроме 1, чисел  и , т.е. два числа – всегда нечетные.

·  Существуют числа  и , или , то есть для произвольно выбранных натуральных  существует бесконечное множество рациональных, действительных или комплексных чисел  и , удовлетворяющих приведенному равенству, если в этом множестве выполнимы арифметические действия. Для целых  числа  и  также будут целыми.

Вариант№1

         Равенство                                                                (1)

путем последовательного деления на числа  и  всегда преобразуется в два многочлена (уравнения) -ой степени относительно :

                    (2)

                   (3)

Равенства (2) и (3) получены путем тождественных преобразований равенства (1), т.е. должны выполняться при одних и тех же значениях целых положительных чисел  и . По определению, необходимым и достаточным условием тождественности двух многочленов над некоторым числовым полем (в нашем случае – над множеством целых чисел) является равенство коэффициентов членов, содержащих одни и те же аргументы в одинаковых степенях, то есть должно выполняться:

, , … ,                       (4)

Из (1) и (4) следует ,  то есть число , как общий арифметический корень уравнений (1), (2) и (3) не может быть рациональным при целых , ,  и .

         Из равенства свободных членов следует:

, или  ,  или

               (5)

Вычитая из правой части равенства (5) левую, получим:

                   (6)

или, если , сократив на , получим:

                     (7)

         Из равенства (7) следует, что для  числа  и  не могут быть одновременно положительными.

         Представленные преобразования позволяют сделать следующие выводы:

·  для тождественных над множеством рациональных чисел многочленов (2) и (3) при  число , как общий арифметический корень уравнений (1), (2) и (3), не может быть рациональным при целых положительных , ,  и ;

·  многочлены (2) и (3) для   и натуральных  и  не тождественны над множеством рациональных чисел, если делители  и  равенства (1) являются иррациональными, откуда следует иррациональность числа ;

·  числа ,  и  в равенстве (1) для  не могут быть одновременно рациональными.

         Для  противоречие исчезает, коэффициенты при   равны 1, а равенство свободных членов после подстановки значений  и  обращается в тождество:

                                     .                                               (8)

         Если правую и левую части равенства (5) обозначить соответственно через  и , где  и  - целые положительные числа, то многочлены (2) и (3) преобразуются в квадратные уравнения относительно :

                             (9),

где неизвестное  обозначено общепринятым образом через , то есть .

 Из условий эквивалентности или анализа причин неэквивалентности этих уравнений следуют те же выводы.

         Это доказательство опубликовано в 1993 г. ............