Передмова
Вища математика, як навчальна дисципліна, є однією з осноних при підготовці висококваліфікованих кадрів у вищих технічних та інших навчальних закладах. Диференціальне числення є основним розділом курсу вищої математики в цілому.
Без засвоєння основних положень, на яких базується диференціальне числення, не можна на належному якісному рівні застосовувати теорію та методи вищої математики при розв’язанні ряду задач з різних галузей знань (при вивченні фізики, електротехніки, інших інженерних та економічних спеціальностей).
Матеріал посібника поділено на 4 глави:
1) Функція, границя, неперервність; 2) Диференціальне чис-лення функції однієї змінної; 3) Дослідження функції за допомогою похідних; 4) Диференціальне числення функцій багатьох змінних.
Кожна глава складається з параграфів, яки містять короткі теоретичні відомості та приклади розв’язання типових вправ. Для самостійної роботи студентів наводиться комплекс типових вправ з відповідями. Наприкінці кожної глави запропоновано зразки контрольних робот з теми, питання до колоквіуму, завдання семестрової роботи студентів. Наведена інструкція що до модульно-рейтингового контролю знань студентів при вивченні даного розділу вищої математики.
Зміст посібника, а також рівень навчальних вимог до знань студентів відповідає програмі курсу “Вища математика для інженерно-технічних, економічних спеціальностей вищих навчальних закладів, студентів технічних коледжів”.
1. Функція, границя, неперервність 1.1 Функція. Область визначення функції
Нехай маємо множину Х дійсних чисел. Якщо кожному числу за певним правилом або законом поставлено у відповідність одне дійсне число у, з множини , то говорять, що на множені Х визначено функцію і записують .
При цьому множина Х називається областю визначення або областю існування функції; х називають аргументом або незалежною змінною; у називають залежною змінною або функцією; називають значенням функції в точці х; — множина, до якої належить значення функції.
Множину всіх значень функції, яких вона набуває при , називають областю значень функції.
Приклад 1. Знайти область визначення функції
.
Розв’язання. Функція у існує, якщо підкореневий вираз невід’ємний. Тому область визначення знаходиться з нерівності:
Таким чином, областю визначення даної функції є відрізок .
Приклад 2. Знайти область визначення функції
.
Розв’язання. Функція визначена, якщо .
Таким чином, область визначення даної функції є сукупність інтервалів:
та .
Приклад 3. Знайти область визначення функції
.
Розв’язання. Функція визначена, якщо
Тобто
.
1.2 Парність, непарність функцій. Періодичність функцій
Нехай функцію задано на проміжку , який є симетричним відносно початку координат. Це може бути або нескінченний інтервал , або скінчений інтервал , або відрізок , де а — будь-яке дійсне число.
Функція , визначена на проміжку , називається парною, якщо для будь-якого виконується рівність
Графік парної функції симетричний відносно осі ординат.
Функція , визначена на проміжку , називається непарною, якщо для будь-якого виконується рівність
Графік непарної функції симетричний відносно початку координат.
Приклад 1. Нехай , де . ............
