Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Вятский Государственный Гуманитарный Университет

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Выпускная квалификационная работа

Восьмиэлементные ассоциативные кольца

Выполнил: студент V курса математического факультета Касьянов А.А.

_________________________

Научный руководитель: д.ф.-м.н., профессор, зав. кафедры алгебры и геометрии

Вечтомов Е.М.

_________________________

Рецензент: к.ф.-м.н., доцент

Чермных В.В.

_________________________

Допущен к защите в ГАК

Зав. кафедрой________________                             Вечтомов Е.М.

                                                                                     «      »___________

Декан факультета_____________                             Варанкина В.И.

                                                                                     «      »___________

Киров 2005

Содержание

Введение........................................................................................ 3

§1. Абелевы группы по сложению.............................................. 5

§2. Кольца, образованные аддитивной группой ............ 8

§3. Кольца, образованные аддитивной группой ... 10

Библиографический список........................................................ 11

Приложение................................................................................ 12

Введение

Понятие кольца появилось в математике в конце XIX века. Первыми примерами ассоциативных колец были числовые кольца, т.е. подкольца поля комплексных чисел и кольца классов вычетов целых чисел. Как самостоятельная область алгебры, теория ассоциативных колец оформилась к началу XX века. Из этой теории выделились в самостоятельные области алгебры теории коммутативных колец, тел, алгебр.

Дадим основные понятия, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем.

Аддитивной абелевой группой  называется алгебра с бинарной операцией + (сложение), удовлетворяющей следующим аксиомам:

1)   сложение ассоциативно, т.е. ;

2)   в G существует нейтральный элемент 0 (ноль) такой, что ;

3)   в G для любого элемента существует противоположный элемент, т.е. ;

4)   Сложение коммутативно: ;

Мультипликативной полугруппой  называется алгебра с бинарной операцией  (умножение), удовлетворяющая закону ассоциативности: ; (в дальнейшем мы будем писать ab, и иметь ввиду произведение элементов a и b в G.

Кольцом называется алгебра  с двумя бинарными операциями сложения и умножения, которые удовлетворяют следующим условиям:

1)   относительно сложения кольцо является абелевой группой;

2)   относительно умножения – это полугруппа;

3)   выполняются законы дистрибутивности:  и ;

Данная дипломная работа представляет собой изложение методики изучения определенных конечных алгебр. В настоящее время изучение конечных алгебр производится с помощью компьютера. Задача данной дипломной работы состоит в отыскании всех восьмиэлементных ассоциативных колец. Для этого мы сначала находим все абелевы группы из восьми элементов, а затем для каждой такой группы строим соответствующие полугруппы по умножению, и получаем искомые кольца.

Всего абелевых групп по сложению, с точностью до изоморфизма, будет три: , , и . ............