Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский Государственный Гуманитарный Университет
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Выпускная квалификационная работа
Восьмиэлементные ассоциативные кольца
Выполнил: студент V курса математического факультета Касьянов А.А.
_________________________
Научный руководитель: д.ф.-м.н., профессор, зав. кафедры алгебры и геометрии
Вечтомов Е.М.
_________________________
Рецензент: к.ф.-м.н., доцент
Чермных В.В.
_________________________
Допущен к защите в ГАК
Зав. кафедрой________________ Вечтомов Е.М.
« »___________
Декан факультета_____________ Варанкина В.И.
« »___________
Киров 2005
Содержание
Введение........................................................................................ 3
§1. Абелевы группы по сложению.............................................. 5
§2. Кольца, образованные аддитивной группой ............ 8
§3. Кольца, образованные аддитивной группой ... 10
Библиографический список........................................................ 11
Приложение................................................................................ 12
Введение
Понятие кольца появилось в математике в конце XIX века. Первыми примерами ассоциативных колец были числовые кольца, т.е. подкольца поля комплексных чисел и кольца классов вычетов целых чисел. Как самостоятельная область алгебры, теория ассоциативных колец оформилась к началу XX века. Из этой теории выделились в самостоятельные области алгебры теории коммутативных колец, тел, алгебр.
Дадим основные понятия, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем.
Аддитивной абелевой группой называется алгебра с бинарной операцией + (сложение), удовлетворяющей следующим аксиомам:
1) сложение ассоциативно, т.е. ;
2) в G существует нейтральный элемент 0 (ноль) такой, что ;
3) в G для любого элемента существует противоположный элемент, т.е. ;
4) Сложение коммутативно: ;
Мультипликативной полугруппой называется алгебра с бинарной операцией (умножение), удовлетворяющая закону ассоциативности: ; (в дальнейшем мы будем писать ab, и иметь ввиду произведение элементов a и b в G.
Кольцом называется алгебра с двумя бинарными операциями сложения и умножения, которые удовлетворяют следующим условиям:
1) относительно сложения кольцо является абелевой группой;
2) относительно умножения – это полугруппа;
3) выполняются законы дистрибутивности: и ;
Данная дипломная работа представляет собой изложение методики изучения определенных конечных алгебр. В настоящее время изучение конечных алгебр производится с помощью компьютера. Задача данной дипломной работы состоит в отыскании всех восьмиэлементных ассоциативных колец. Для этого мы сначала находим все абелевы группы из восьми элементов, а затем для каждой такой группы строим соответствующие полугруппы по умножению, и получаем искомые кольца.
Всего абелевых групп по сложению, с точностью до изоморфизма, будет три: , , и . ............
