Муниципальное обще образовательное учреждение Средняя общеобразовательная школа №54 с углубленным изучение предметов социально-гуманитарного цикла центрального района города Новосибирска Экзаменационная работа по геометрии на тему: "Конус" I Конус Конус - тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет. S- вершина конуса, круг с центром О - основание конуса Отрезок SA=L образующая. Отрезок OA=R - радиус основания. Отрезок BC=2R - диаметр основания. Треугольник SBC-осевое сечение Угол BSC - угол при вершине осевого сечения Угол SBO - угол наклона образующей к плоскости основания
    II Сечение конуса 1. Секущая плоскость проходит через ось конуса (осевое сечение - равнобедренный треугольник рис. 1)
    
    
    
    
    
    
    
    
     2. Секущая плоскость проходит перпендикулярно к оси конуса - круг с центром О1 (рис. 2) 3.Сечение проходящее через верщину конуса - равнобедренный треугольник (рис. 3) 4.Параболическое и гиперболическое сечения. (рис. 4 ) В конус всегда можно вписать шар. Его центр на оси конуса и совпадает с центром окружности, вписанно в треугольник, являющийся осевым сечением конуса. Rш = Rк * tg a/2 = H*Rк/Rк +L Около конуса всегда можно описать шар. Его центр лежит на оси конуса и совпадает с центром окружности, описаной около треугольника, являющегося осевым сечением конуса. Rш = Rк / sinb ; R?ш= (H-Rш) ? + Rк? Rш =L/2H ; (2Rш - Hк)Hк = Rк?
    III Площадь поверхности конуса 1. За плщадь боковой поверхности конуса принимается площадь её разертки. Выразим S бок через его опразующую L и радиус основания r. Площадь кругового сектора ?L?/360*? . Выразим ? через L и r . Длинна дуги ABA равна 2?r (длинна окружности основания конуса) 2?r = ?L/180* ?, откуда следует ?=360r/L следовательно Sбок = ?L?360r/360L=?rL
    Sбок = ?rL 2. Площадь полной поверхности конуса есть сумма площадей боковой поверхности и основания
    Sпол=?rL(L+r) IV Объем конуса Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту. Рассмотрим конус с обьемом V, радиусом R, высотой h и вершиной О. Введем ось Ох, чтобы она совпадала с осью конуса -ОН . Произвольное сечение конуса плоскостью, перпендикулярной к оси Ох, является круг с центром в точке Н1 пересечения этой плоскости с осью Ох. Обозначим Радиус этого круга через , ф площадь S(x) через,где х-абсцисса точки Н1. Из подобия треугольников ОН1А1 и ОНА следует,что ОН1/ОН=R1/R, или x/h=R1/R =>R1=XR/h. Так как S(x)= ?R?, то S(x)= ?R?/h?* ? Применяя основную формулу вычисления обьемов тел при а=0 и b=h получаем V Усеченный конус. Усеченный конус - часть конуса, заключенная между основанием и паралельным основанию сечением конуса. Круги с центрами О1 и О2 - верхнее и нижнее основания усеченного конуса, R r - радиусы оснований, АВ= L образующая ,? угол наклона образующе и плоскости нижнего основания. Отрезок О1О2-высота. Трапеция АВСD - осевое сечение. Н=L*sin ? H?+(R-r) ?=L? Около усеченного конуса всегда можно описать шар. Его центр лежит на прямой О1О2 CF=FD OF+Cd=> О - центр описанного шара R - радиус описанного шара, равный радиусу окружносит описанной около ?ACD В усеченный конус можно вписать шар тогда и только тогда, когда образующая равна сумме радиусов оснований L=R+r => существует вписанный шар. VI Площадь поверхности усеченного конуса 1. ............