Министерство науки и образования Украины

Сумской государственный университет

кафедра информатики

Численные методы

Курсовая работа

на тему:

“ Выбор интерполирующей функции к заданной и ее построение ” Сумы 2006

Содержание

Постановка задачи.

1. Введение.

2. Теоретическая часть.       

3. Практическая реализация:        

3.1 Программа на языке Pascal.

3.2 Решение в Excel.

4. Выводы.         

Список использованной литературы.

Приложение.

Постановка задачи

Найти значение функции у в точке х=0.47 , используя интерполяционную схему Эйткина, проверить правильность решения с помощью кубического сплайна. Значения функции у приведены в таблице:

 

Введение

 

Пусть на отрезке  задано N точек , которые называются узлами интерполирования, и значения некоторой функции  в этих точках: . Нужно построить функцию  ( функцию, которая интерполирует), которая совпадала бы с  в узлах интерполяции и приближала ее между ними, то есть такую, что . Геометрическая интерпретация задачи интерполяции состоит в том, что нужно найти такую кривую  некоторого вида, что проходит через заданную систему точек  С помощью этой кривой можно найти приближенное значение , де  Задача интерполяции становится однозначной, если вместо произвольной функции  искать многочлен  степени не выше , который удовлетворяет условия:

.

Интерполяционный многочлен  всегда однозначный, поскольку существует только один многочлен степени , который в данных точках принимает заданные значения. Существует несколько способов построения интерполяционного многочлена. Дальше мы рассмотрим основные способы подробнее.

 

Теоретическая часть

 

Интерполяционный многочлен Лагранжа

 

Интерполяционный многочлен Логранжа, что принимает в узлах интерполяции  соответственно значений  имеет вид:

 (*)

С формулы видно, что степень многочлена  равна , и многочлен Логранжа удовлетворяет все условия задачи интерполяции.

Если расстояние между всеми соседними узлами интерполирования одинаково, то есть , формула (*) значительно упрощается. Введем новую переменную , тогда   Теперь интерполяционный полином Лагранжа имеет вид:

. (**)

Тут .

Коэффициенты , которые стоят перед величинами  в формуле (**), не зависят от функции  и от шага , а зависят только от величин  Поэтому таблицами составленными для различных значений , можно воспользоватся при решении различных задач интерполирования для равноотстоящих узлов.

Возникает вопрос, на сколько близко многочлен Логранжа приближается к функции  в других точках (не узловых), то есть на сколько большой остаток. На функцию  накладывают дополнительные ограничения. А именно: предполагают, что в рассмотренной области  изменения , которые содержат узлы интерполяции, функция  имеет все производные  до -го порядка включительно. Тогда оценка абсолютной погрешности интерполяционной формулы Логранжа имеет вид:

, (***)

где  .

 

Интерполяционный многочлен Ньютона

 

Разделенными разностями называются соотношения вида:

- первого порядка:

 

- второго порядка:

 (5.15)

…………………………………………………;

- n- го порядка:

С помощью разделенных різностей можно построить многочлен:

 (5.16)

Он называется интерполяционным многочлен Ньютона для заданной функции. ............