Указания по проведению
практической работы № ___1____
Задачи на вычисление пределов
(Название работы)
По дисциплине «Математика»
Специальность __080110, 080112, 080501__
Разработал преподаватель
_____________(___................. __)
(Подпись) (ФИО)
«_______» _________________200___г.
Цель работы:
1. Формировать умения и навыки вычисления пределов
2. Формировать умения и навыки самостоятельного умственного труда
3. Прививать умения и навыки работы со справочным материалом
4. Определить уровень остаточных знаний студентов по данной теме
Перечень справочной литературы :
1. Богомолов Н.В. «Практические занятия по математике», М: Высшая школа, 2004
2. Письменный Д. «Конспект лекций по высшей математике», ч.1., Москва, Айрис-Пресс, 2004
3. Шипачев В.С. «Задачник по высшей математике», М: Высшая школа, 2003
4. Выгодский М.Я. «Справочник по высшей математике», Росткнига, 2001
Краткие теоретические сведения:
Предел последовательности
Определение. Число называется пределом последовательности , если для любого положительно го числа найдется такое натуральное число , что при всех > выполняется неравенство
Пишут:
Графически это выглядит так:
n -
Т.е. элемент находится в - окрестности точки а. При этом последовательности называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.
Основные свойства сходящихся последовательностей
1)Сходящаяся последовательность ограничена.
2)Пусть , , тогда а) б) в)
3)Если и для всех выполняется неравенства , то .
4) Если и последовательность {уn} - ограниченная, то
№1. Найти пределы:
Бесконечно большие и бесконечно малые функции
Определение. Функция называется бесконечно малой при , если
Например: 1) при б. м. ф. т.к. 2) при б. м. ф. т. к
Определение. Функция называется бесконечно большой при , если , или
Например, есть б. б. Ф при ; если б. б. ф. при действительно и
Теорема (о связи между функций, ее приделом и бесконечно малой функцией). Если функция имеет придел, равный , то ее можно представить как сумму числа и бесконечно малой функции , т.е. если
Теорема (обратная). Если функцию можно представить в виде суммы числа А и б.м.ф. (x), то число А является пределом функции, т.е если , то
Например, требуется вычислить . Представим числитель и знаменатель в виде суммы числа и б.м.ф.
Функции при есть б.м.ф. таким образом
Основные теоремы о пределах
Теорема 1. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов:
Теорема справедлива для алгебраической суммы любого конечного числа функций.
Теорема 2. Функция может иметь только один предел при .
Теорема 3. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:
.
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
Следствие 2. Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела: .
Теорема 4. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю.
Примеры:
1)== ==
===
2) =
=
3)
Первый замечательный предел
Второй замечательный предел
или
Примеры:
Вычислить:
1) .
2) .
3)
4) ===
№2. ............
