Белорусский государственный университет Факультет радиофизики и электроники Реферат "Вынужденные колебания. Амплитудно-частотные и фазово-частотные характеристики" Реферат подготовил студент I курса группы №7 Константин Мулярчик. Преподаватель: Янукович Татьяна Петровна. Минск 2004
     Колебания - такие процессы, при которых параметры, характеризующие состояние колебательной системы, повторяются с течением времени. Например, колебания маятника в маятниковых часах, суточные колебания освещённости данного участка Земной поверхности и т.д.
    Вынужденные колебания - колебания системы, возникающие под воздействием внешней вынуждающей силы. Характер этих колебаний определяется как свойствами самой колебательной системы, так и внешней силой. Обычно принимают, что внешняя периодическая сила изменяется по гармоническому закону . Рис. 1 Система с вынужденными колебаниями Рис. 2 Силы, действующие в системе Рассмотрим колебательную систему, показанную на рисунке 1.
    Она состоит из горизонтального пружинного маятника и кривошипо-шатунного механизма. Кривошипо-шатунный механизм - механизм, который преобразует вращательное движение в возвратно-поступательное.
    Тогда II-й закон Ньютона для данной системы запишется в виде: , (1) где - масса тела, - его ускорение, - сила тяжести, - сила реакции опоры, - сила вязкого трения (), - внешняя вынуждающая сила, - сила упругости пружины (). В проекции на ось x: (2) введём замены: , , получим: (3) Введём обозначения ( - показатель затухания, - коэффициент сопротивления), ( - циклическая частота свободных колебаний системы в отсутствие трения), - приведённая сила. Тогда можем переписать уравнение в общем виде: (4) Уравнение (4) - дифференциальное уравнение вынужденных колебаний, линейное, второй степени, неоднородное (с правой частью). Исследуем его. Как известно из теории дифференциальных уравнений, решением уравнения (4) является сумма двух решений: общего решения однородного уравнения соответствующего данному неоднородному и частного решение неоднородного уравнения в целом.
    Однородное уравнение соответствующее данному неоднородному есть уравнение затухающих колебаний
    1.
    2.
    3.
    4. :
    a. (5)
     Решением этого уравнения является функция: , где . (6) Частное решение неоднородного уравнения в целом будем искать следующим образом. Как показывает практика, не зависимо от начальных условий осциллятора через достаточно большой промежуток времени (время разгорания/релаксации) в системе установятся гармонические колебания с частотой вынуждающей силы и амплитудой , зависящей от частоты . Различные случаи установления гармонических колебаний: Рис. 3 Случай разгорания для Рис. 4 Произвольный случай разгорания Здесь - это время разгорания колебаний.
    Это значит, что через достаточно большой промежуток времени первым слагаемым можно пренебречь. Действительно в (6) при ,. Таким образом , (7) где - амплитуда установившихся колебаний с частотой - частотой внешней вынуждающей силы, - сдвиг фаз между смещением и фазой внешней силы.
    Найдем, чему равны и при частоте внешней силы . Для этого найдем 1-ю и 2-ю производные от (7): (8) (9) И подставим (7), (8), (9) в (4):
    , немного преобразуем:
     и получим:
    Данное уравнение будет справедливо при любом , если коэффициенты при и будут равны нулю:
     Из этой системы найдем зависимость амплитуды установившихся колебаний и сдвига фаз от частоты внешней вынуждающей силы: (10) (11) Исследуем выражение (11) на экстремумы. ............