Высшая математика Основные теоремы и определения
    Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называется числовым рядом.
    
    При этом числа будем называть членами ряда, а un - общим членом ряда.
    Определение. Суммы , n = 1, 2, ... называются частными (частичными) суммами ряда.
    Таким образом, возможно рассматривать последовательности частичных сумм ряда S1, S2, ...,Sn, ...
    Определение. Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность его частных сумм. Сумма сходящегося ряда - предел последовательности его частных сумм.
    
    Определение. Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е. не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся и ему не ставят в соответствие никакой суммы. Свойства рядов.
    1) Сходимость или расходимость ряда не нарушится если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда.
    2) Рассмотрим два ряда и , где С - постоянное число.
    Теорема. Если ряд сходится и его сумма равна S, то ряд тоже сходится, и его сумма равна СS. (C ? 0)
    3) Рассмотрим два ряда и . Суммой или разностью этих рядов будет называться ряд , где элементы получены в результате сложения (вычитания) исходных элементов с одинаковыми номерами.
    Теорема. Если ряды и сходятся и их суммы равны соответственно S и ?, то ряд тоже сходится и его сумма равна S + ?.
    
    Разность двух сходящихся рядов также будет сходящимся рядом.
    Сумма сходящегося и расходящегося рядов будет расходящимся рядом.
    О сумме двух расходящихся рядов общего утверждения сделать нельзя.
    При изучении рядов решают в основном две задачи: исследование на сходимость и нахождение суммы ряда. Критерий Коши.
    (необходимые и достаточные условия сходимости ряда)
    Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для любого существовал такой номер N, что при n > N и любом p > 0, где р - целое число, выполнялось бы неравенство:
    .
    1.3 Определение. Ряд называется равномерно сходящимся на отрезке [a,b], если равномерно сходится на этом отрезке последовательность частных сумм этого ряда.
    Теорема. (Критерий Коши равномерной сходимости ряда)
    Для равномерной сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы для любого числа ?>0 существовал такой номер N(?), что при n>N и любом целом p>0 неравенство
    
    выполнялось бы для всех х на отрезке [a,b].
    Теорема. (Признак равномерной сходимости Вейерштрасса)
    (Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 - 1897) - немецкий математик)
    Ряд сходится равномерно и притом абсолютно на отрезке [a,b], если модули его членов на том же отрезке не превосходят соответствующих членов сходящегося числового ряда с положительными членами :
    
    т.е. имеет место неравенство:
    .
    Еще говорят, что в этом случае функциональный ряд мажорируется числовым рядом .
    ряд называется положительным, если Un?0, для всех n € N
    Интегральный признак Коши.
    Если ?(х) - непрерывная положительная функция, убывающая на промежутке [1;?), то ряд ?(1) + ?(2) + ...+ ?(n) + ... ............