Пермский Государственный Технический Университет Кафедра МКМК КУРСОВАЯ РАБОТА Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием. Анализ НДС вблизи отверстия. Исполнитель: студент группы ПКМ-96 Шардаков А.П. Проверил: Ташкинов А.А. 1999 г.
    
    
    Оглавление
     1. Общетеоретическая часть............................................................................3 2. Прикладная часть 2.1 Физическая постановка задачи..................................................................9 2.2 Упругие свойства материала.....................................................................9 2.3 Математическая постановка задачи........................................................10 2.4 Аналитическое решение...........................................................................10 2.5 Иллюстрация распределения напряжений.............................................11 Используемая литература................................................................................12 Приложение 1. (Расчетная схема на MathCad 7.0 )......................................13 Приложение 2. (График распределения напряжений)..................................14
    1. Общетеоретическая часть
    
    Рассмотрим бесконечную пластинку с некоторым отверстием в центре. Центр отверстия примем за начало координат, а оси х1, х2 направим по главным направлениям упругости. На пластинку действуют некоторые распределенные нагрузки p1, p2 вдоль соответствующих осей.
    
    Общая система уравнение теории упругости выглядит следующим образом:
     (1) Уравнения равновесия применительно к рассматриваемой задаче, т.е. когда напряжения зависят только от двух координат, запишутся так: (2) В нашей задаче искомыми являются шесть функций компонент тензора напряжений . Но в уравнения равновесия (2) не входит , тем самым этой функции определяется особая роль. Для простоты последующих математических выкладок примем следующие предположения. Пусть для f1(x1,x2) и f2(x1,x2) существует потенциал, т.е. такая функция U(x1,x2) для которой выполняются условия: (3) Так как силы f1 и f2 задаются при постановки задачи, то потенциал U так же известная функция. Подставляя (3) в (2) получим: (4) Введем также еще две функции F(x1,x2) и ?(x1,x2), которые называются функциями напряжений и вводятся следующим образом: Нетрудно видеть, что при подстановки всех этих формул в систему (4) все три уравнения будут равны нулю. Теперь если мы найдем функции F(x1,x2) и ?(x1,x2), то будут найдены и функции компонент тензора напряжений, кроме компоненты .
    Для упрощения дальнейших выкладок сделаем следующие преобразования. Так как тензор модулей упругости Сijmn представляет собой матрицу 6х6 из которых 21 компонента независимая, то для тензора напряжений и тензора деформаций вводится матрица столбец: Тогда уравнения Коши запишутся следующим образом: а через напряжения компоненты деформации определяются по закону Гука: (5) где aij - компоненты матрицы независимых постоянных тензора упругих податливостей Dijmn.
    Обозначим как неизвестную функцию D(x1,x2), тогда из закона Гука следует, что: а выражение для будет равно:
    Теперь введем приведенные коэффициенты деформации, для которых имеет место выражение: , где i,j=1..6 (6) Подставим выражение для в обобщенный закон Гука, тогда с учетом приведенных коэффициентов деформаций эти выражения примут вид:
    Подставляя эти выражения в уравнения Коши получим следующую систему:
     (7)
     Уравнения системы (7) включают в себя и уравнения Коши и закон Гука. ............