Задачи линейной алгебры
    Реферат подготовил учащийся 1КД гр. Сергей Шрам
    Министерство науки и образования Украины
    ДГМА
    Краматорск
    2003
    При решении различных задач математики очень часто приходится иметь дело с таблицами чисел, называемых матрицами. С помощью матриц удобно решать системы линейных уравнений, выполнять многие операции с векторами, решать различные задачи компьютерной графики и другие инженерные задачи.
    Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество п столбцов. Числа т и п называются порядками матрицы. В случае, если т = п, матрица называется квадратной, а число m = n - ее порядком.
    В дальнейшем для записи матриц будут применяться либо сдвоенные черточки, либо круглые скобки:
    или
    
    Для краткого обозначения матрицы часто будет использоваться либо одна большая латинская буква (например, A), либо символ || a ij || , а иногда с разъяснением: А = || a ij || = ( a ij ), где (i = 1, 2, ..., т, j=1, 2, ..., n).
    Числа a ij , входящие в состав данной матрицы, называются ее элементами. В записи a ij первый индекс і означает номер строки, а второй индекс j - номер столбца. В случае квадрат-ной матрицы
    (1.1)
    вводятся понятия главной и побочной диагоналей. Главной диагональю матрицы (1.1) называется диагональ а11 а12 ... ann идущая из левого верхнего угла этой матрицы в правый нижний ее угол. Побочной диагональю той же матрицы называется диагональ аn1 а(n-1)2 ... a1n , идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол. Основные операции над матрицами и их свойства.
    Прежде всего, договоримся считать две матрицы равными, если эти матрицы имеют одинаковые порядки и все их соответствующие элементы совпадают.
    Перейдем к определению основных операции над матрицами.
    Сложение матриц. Суммой двух матриц A = || a ij || , где (i = 1, 2, ..., т, j=1, 2, ..., n) и В = || b ij || , где (i = 1, 2, ..., т, j=1, 2, ..., n) одних и тех же порядков т и п называется матрица С = || c ij || (і =1,2, ..., т; j = 1, 2, ...., п) тех же порядков т и п, элементы сij которой определяются по формуле
    , где (i = 1, 2, ..., т, j=1, 2, ..., n) (1.2)
    Для обозначения суммы двух матриц используется запись С = А + В. Операция составления суммы матриц называется их сложением. Итак, по определению:
    + =
    Из определения суммы матриц, а точнее из формул (1.2) непосредственно вытекает, что операция сложения матриц обладает теми же свойствами, что и операция сложения веществен-ных чисел, а именно:
    1) переместительным свойством: А + В = В + А,
    2) сочетательным свойством: (A + B) + С = А + (В + С).
    Эти свойства позволяют не заботиться о порядке следования слагаемых матриц при сложении двух или большего числа матриц.
    Умножение матрицы на число. Произведением матрицы A = || a ij || , где (i = 1, 2, ..., m, j=1, 2, ..., n) на вещественное число ?, называется матрица С = || c ij || (і =1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., n), элементы которой определяются по формуле:
    , где (i = 1, 2, ..., т, j=1, 2, ..., n) (1.3)
    Для обозначения произведения матрицыі на число используется запись С = ? A или С = А ?. Операция составления произведения матрицы на число называется умножением матрицы на это число.
    Непосредственно из формулы (1.3) ясно, что умножение матрицы на число обладает следующими свойствами:
    1) сочетательным свойством относительно числового множителя: ( ? ? ) A = ? ( ? A );
    2) распределительным свойством относительно суммы матриц: ? (A + B) = ? A + ? B;
    3) распределительным свойством относительно суммы чисел: (? + ?) A = ? A + ? A
    Замечание. ............