Замечательное уравнение кинематики Ю. Архипов Тарту-2006. Резюме.
    В предлагаемой статье рассмотрена возможность расширения сферы применения кинематических уравнений для решения задач механики. Показана возможность переноса метода составления простейших уравнений движения, на основе дифференциальных определений физических величин, в других разделах физики. Рассматриваются зависимости времени от координат, скоростей, ускорений, то есть обратные задачи кинематики, которые редко встречаются в учебниках механики.
    В большинстве учебников по механике раздел кинематики ограничивается определениями траектории, системы координат, перемещения , скорости v=dx/dt, ускорения a=dv/dt и выводом формул пути для средней, мгновенной скорости, пути для равноускоренного движения X=Xo+v*t+a*t^2/2. Оказывается: из формул, определяющих скорость v=dx/dt и ускорение a=dv/dt, получается замечательная пропорция - v*dv = a*dx -, то есть дифференциальное уравнение с разделяемыми переменными. Область ее применения оказывается неожиданно обширной. По аналогии с выводом этого уравнения, можно вывести, подобные ему, дифференциальные уравнения вращательного движения, движения по кругу и других физических процессов, для которых даны определения физической величины Y(x), ее первой y'(x) и второй y''(x) производных. Из определений мгновенных скорости и ускорения получаются следствия: dv/dx = a/v, dt = dx/v(x), x(t) = 1/t(x), применение которых редко встречается в примерах решения задач по механике.
    - Вывод закона сохранения механической энергии. - Умножим обе части уравнения на постоянную величину m, то есть массу и проинтегрируем уравнение. Получим m*v^2/2 = m*a*x. Выразив уравнение в определенных интегралах, получим полную формулу закона сохранения энергии. Кстати, получили в левой части формулу кинетической энергии, в правой - потенциальной. Для вращательного движения, аналогично - из определений угловой скорости w=df/dt и углового ускорения e=dw/dt получаем пропорцию, умножив на постоянные массу, радиус в квадрате и проинтегрировав, получаем формулу закона сохранения m*(w*R)^2/2 = m*e*R^2*f.
    ***Алгоритмы решения задач на основе уравнения.***
    * Если известна зависимость ускорения от координат a(x), то уравнение примет вид v^2(x)=2*Integr(a(x)*dx). Например: a(x)= K*x -> v^2(x)= 2*K*Integr(x*dx) a(x)= G/x^2 -> v^2(x)= 2*G*Integr(dx/x^2) 1. Находим скорость v(x)=(2*Integr(a(x)*dx))^0,5 2. Находим время t(x)=Integr(dx/v(x)) 3. Находим формулу пути, как обратную функцию x(t)=1/t(x). * Если известна зависимость ускорения от скорости a(v), то она переносится в левую часть уравнения. Например: a(v)=g-k*v -> dv/g-kv= dx a(v)=g-k*v^2 -> dv/g-kv^2= dx 1. Находим зависимость x(v), обратную функцию v(x)=1/x(v) 2. Находим зависимости t(x)=Integr(dx/v(x)) 3. Находим формулу пути, как обратную функцию x(t)=1/t(x). * Усли известна зависимость v(x), то, интегрируя, находим t(x)=Integr(dx/v(x)), если известна зависимость v(t), находим из нее первообразную - X(t) и производную - a(t). * Заметим - мы не прибегаем здесь к теории дифференциальных уравнений, где даются в виде решений готовые функции для каждого вида уравнения, а сами, прямым интегрированием, находим эти функции. * Заметим - это замечательное уравнение является шаблоном для подстановки в него известных функций при решении конкретных задач. При этом нужно решать полученные уравнения в определенных интегралах, чтобы учесть заданные начальные условия. В теоретической механике существуют похожие шаблоны в виде уравнений Лагранжа, уравнений Гамильтона и т.д.
    ****Примеры решения задач.****
    * Найти время падения тела от состояния покоя, на расстоянии 6371 км от поверхности Земли, до ее поверхности. ............