Міністерство освіти України
    ДАЛПУ
    
    
    Кафедра автоматизації технологічних процесів і приладобудування
    
    КУРСОВА РОБОТА
    
    з курсу "Математичне моделювання на ЕОМ"
    на тему "Розв'язок диференціального рівняння виду апу(п)+ап-1у(п-1)+...+а1у1+а0у=кх при заданих початкових умовах з автоматичним вибором кроку
    методом Ейлера"
    Виконала студентка групи БА-4-97
    Богданова Ольга Олександрівна
    Холоденко Вероніка Миколаївна
    Перевірила Заргун Валентина Василівна 1998 Блок-схема алгоритма Блок-схема алгоритма начало у/=f(x,y) y(x0)=y0
    x0, x0+a h, h/2 k:=0
    xk+1/2:=xk+h/2
    yk+1/2:=yk+f(xk, yk)h/2
    ?k:= f(xk+1/2, yk+1/2)
    xk+1:=xk+h
    yk+1:=yk+?kh
    нет k:=n
    да
    x0, y0, x1, y1...
    xn, yn
    конец ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МЕТОД РЕШЕНИЯ
    Решить дифференциальное уравнение у/=f(x,y) численным методом - это значит для заданной последовательности аргументов х0, х1..., хn и числа у0, не определяя функцию у=F(x), найти такие значения у1, у2,..., уn, что уi=F(xi)(i=1,2,..., n) и F(x0)=y0. Таким образом, численные методы позволяют вместо нахождения функции У=F(x) получить таблицу значений этой функции для заданной последовательности аргументов. Величина h=xk-xk-1 называется шагом интегрирования.
    Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции у(х). Он является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других методов.
    Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка
    y/=f(x,y) (1) с начальным условием
    x=x0, y(x0)=y0 (2) Требуется найти решение уравнения (1) на отрезке [а,b]. Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей и получим последовательность х0, х1, х2,..., хn, где xi=x0+ih (i=0,1,..., n), а h=(b-a)/n-шаг интегрирования.
    В методе Эйлера приближенные значения у(хi)?yi вычисляются последовательно по формулам уi+hf(xi, yi) (i=0,1,2...). При этом искомая интегральная кривая у=у(х), проходящая через точку М0(х0, у0), заменяется ломаной М0М1М2... с вершинами Мi(xi, yi) (i=0,1,2,...); каждое звено МiMi+1 этой ломаной, называемой ломаной Эйлера, имеет направление, совпадающее с направлением той интегральной кривой уравнения (1), которая проходит через точку Мi.
    Если правая часть уравнения (1) в некотором прямоугольнике R{|x-x0|?a, |y-y0|?b}удовлетворяет условиям:
    |f(x, y1)- f(x, y2)| ? N|y1-y2| (N=const),
    |df/dx|=|df/dx+f(df/dy)| ? M (M=const),
     то имеет место следующая оценка погрешности:
    |y(xn)-yn| ? hM/2N[(1+hN)n-1], (3) где у(хn)-значение точного решения уравнения(1) при х=хn, а уn- приближенное значение, полученное на n-ом шаге. Формула (3) имеет в основном теоретическое применение. На практике иногда оказывается более удобным двойной просчет: сначала расчет ведется с шагом h, затем шаг дробят и повторный расчет ведется с шагом h/2. Погрешность более точного значения уn* оценивается формулой
    |yn-y(xn)|?|yn*-yn|.
    Метод Эйлера легко распространяется на системы дифференциальных уравнений и на дифференциальные уравнения высших порядков. ............