Розрахунково-пояснювальна записка
До курсової роботи з основ теорії систем та системного аналізу:
Дослідження властивостей технологічного агрегата як многомірної системи
Одеса - 2010
1. Еквівалентні та апроксимаційні перетворення моделі 1.1 Нелінійна модель агрегату
На прикладі розглянемо конкретну технічну систему - змішувальний бак:
Рисунок 1. Модель бака.
F1,F2,F - витрати рідини на притоці і витоці системи, м3/с;
C1,C2,C - концентрація на витоці і притоці системи, кмоль/м3;
h - рівень рідини в бакові, м; S - площа бака, м2;
V - об'єм рідини в бакові, м3;
Запишемо рівняння системи в стаціонарному (встановленому) стані, коли притік дорівнює витоку (рівняння матеріального балансу):
F10+F20-F0=0; C1,
де індекс 0 означає встановлений стан.
Записавши умови балансу кінетичної і потенціальної енергії на виході із бака
,
де
p - густина рідини, кг/м3;
w - швидкість витоку, м/с;
q - прискорення вільного падіння,q=9.81 м/с2;
і припускаючи, що
d - діаметр вихідного трубопроводу, м.
Одержимо:
чи, відповідно,
, де
k - коефіцієнт.
При зміні витрат у системі відбувається накопичення речовини і перехід до нового встановленого стану. Цей перехідний процес описується диференціальними рівняннями
де dv/dt - приріст об'єму рідини, - приріст маси рідини.
Наведемо цю систему у стандартному вигляді:
Позначимо:
− зміна у часі відхилення витрати від номінального щодо першого каналу
− теж щодо другого каналу
− зміна у часі відхилення об'єму від номінального у бакові;
− відхилення концентрації від номінальної;
- зміна втрати на виході;
- зміна концентрації на виході.
1.2 Нелінійна модель в стандартній формі
Розглянемо поповнення бака від 0 до номінального значення витрати з урахуванням приросту поданого лінеаризованій моделі. Таким чином, розглянемо стрибок u1=0,03; u2=0.
Позначивши , рівняння бака запишемо у вигляді системи:
Перше рівняння є нелінійним зі змінними що розділяються
З урахуванням того, що запишемо:
,
чи підставляючи
Виразимо
Підставляємо та
Таблиця 1.
y1 0.141 0.142 0.143 0.144 0.145 0.146 0.147 0.148 0.149 0.150 0.151 t, с 0 1.5 3.188 5.116 7.357 10.026 13.315 17.585 23.643 34.072 68.958
1.3 Отримання квадратичної моделі
Рівняння квадратичної моделі має вигляд:
Матриці з підстановкою номінального режиму:
1.4 Запис білінійної моделі
1.5 Лінеаризована модель
Лінеаризуємо залежність , розклавши її на ряд Тейлора.
З урахуванням раніше викладеного запишемо:
; (т.к ), где ;
Припустивши у випадку остатку . Тоді підставивши похідну , отримаємо
;
В результаті маємо
Представивши цю систему в матричній формі:
Тоді матриці А і В запишуться в вигляді
,
Для визначення матриці С необхідно встановити зв'язок між векторами x и y. Оскільки , , то
; , то
Тоді
Система буде мати вигляд
Коефіцієнти моделі системи:
1.6 Модель в дискретному часі
система в дискретному часі має вид:
dt=14,89 c.
Таким чином
Задавшись , , тоді
Результати подальших ітерацій представлено в таблиці:
Таблиця 3. ............
