Н.М. Кащенко

1. Численный метод интегрирования вырожденных эллиптических уравнений

В предположении обычных при моделировании ионосферы приближениях малости инерционных сил для заряженной составляющей плазмы и квазипотенциальности силовых линий магнитного поля Земли уравнения переноса заряженных частиц имеют вид [3]:

(1)

В этих уравнениях ni — концентрация частиц, qi — источники и потери, — матрица коэффициентов диффузии, имеющая только продольные компоненты, — скорость переноса частиц. Аналогичный вид имеют уравнения теплопроводности.

Часто удобно решать уравнения таких моделей конечно-разностным методом на прямоугольных сетках в сферической системе координат. При этом возникает проблема решения вырожденных эллиптических уравнений со смешанными производными. Разностная аппроксимация таких уравнений приводит к разностным схемам, для которых не выполнено условие монотонности даже при аппроксимации в терминах потоков. Запись этих уравнений в дипольной системе координат после аппроксимации по переменной t приводит к уравнениям вида:

(-Au¢ + Bu)¢ + Cu = D, A > 0, C 0, D 0. (2)

Здесь дифференцирование проводится по продольной координате, которую обозначим b.

Для решения таких уравнений предлагается в (2) факторизовать дифференциальный оператор (дифференциальная прогонка), затем факторизованную запись преобразовать в сферическую систему координат и решать факторизованные уравнения в этой системе по схеме бегущего счета. После факторизации уравнения (2) получаем систему

(3)

Здесь e и z являются вспомогательными функциями. Первое и второе уравнения интегрируются в направлении возрастания b, а третье интегрируется в направлении убывания b. Систему (3) можно решать на прямоугольной сетке исходной системы координат, используя соответствующие разностные аппроксимации и схемы бегущего счета.

Пусть (x, y) — исходная система координат, а (a, b) — новая система и пусть для формул перехода справедливо соотношение:

Тогда поэтому и аппроксимируются разностями назад при n > 0 и разностями вперед при n < 0, а — разностями в обратном порядке. Аналогичные аппроксимации применяются и для производных по переменной y. Тогда суммарная погрешность аппроксимации имеет вид Dz + (ADu)¢ - uDe - eDu, где Dz, Du, De — погрешности аппроксимаций в уравнениях для z, u и e соответственно.

В зависимости от аппроксимации недифференциальных членов системы (3) получается семейство разностных схем с разными величинами суммарной погрешности аппроксимации. Параметры семейства следует подбирать для получения нужного свойства разностной схемы, например, для получения аппроксимации второго порядка. В ионосферных моделях для дополнительного уменьшения погрешностей аппроксимации область интегрирования делится пополам и применяется встречная дифференциальная прогонка с условиями гладкости решения на границе деления [3]. Описанная схема реализована на языке программирования Fortran в рамках численной модели ионосферы.

2. Некоторые варианты скалярной прогонки

Решение трехточечных разностных уравнений методом прогонки основано на неявной факторизации соответствующего разностного оператора. В [2] рассмотрены некоторые варианты решения трехточечных разностных уравнений, но, как указано в [1], анализ вычислительной устойчивости проведен не полностью. ............