Иррациональные уравнения и неравенства Колегаева Елена Михайловна, доцент кафедры математических методов и информационных технологий ДВАГС I. Преобразование иррациональных выражений.
    Иррациональным называется выражение, содержащее корни n-ой степени.
    1) Одно из типичных преобразований иррациональных выражений - избавление от иррациональности в знаменателе.
    а) Если в знаменателе стоит выражение вида , то необходимо числитель и знаменатель умножить на сопряженное к нему выражение . В этом случае применяется формула .
    б) Если в знаменателе стоит выражение (или ), то числитель и знаменатель умножается, соответственно, на (или ). В этом случае применяются формулы
    ,
    .
    Пример 1. Избавиться от иррациональности в знаменателе:
    а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .
    Решение:
    а) ;
    б) ;
    в) ;
    г) ;
    д) ;
    е)
    .
    Отметим еще одно свойство:
    
    которое часто применяется в преобразованиях.
    Пример 2. Упростить выражение:
    а) ; б) ; в) .
    Решение:
    а) , т.к. .
    б) , т.к. .
    в)
    .
    Выясним, при каких n выражения под знаком модуля меняют знак: n??1, n?1, n?0.
    1) Если n x2=t2-13
    t2-13-2t=22; t2-2t-35=0,
    t1=7; t2??5.
    Сделаем обратную замену:
    ? х2+13=49 ? х2=36 ==> х=?6,
    - не имеет решений.
    Ответ: х=?6.
    г)
    Сделаем замену переменной. Положим . Тогда уравнение примет вид:
    ? ?
    
    ==> ? ? ? .
    Проверка показывает, что - корень.
    Ответ: . III. Решение иррациональных неравенств.
    При решении этих неравенств следует помнить, что в четную степень можно возводить неравенства с неотрицательными членами.
    Поэтому неравенство эквивалентно системам
    или
    Неравенство равносильно системе
    
    Пример 4. Решить неравенства:
    а) б)
    в) г)
    Решение.
    а) ? ?
    Решим третье неравенство системы методом интервалов:
    x2-5x-14>0
    x2-5x-14=0
    
    (x-7)(x+2)>0
    
    Найдем пересечение решений трех неравенств:
    Ответ: -18?x0 и так как x2+1>0, возводим обе части в квадрат. Имеем:
    ? ? x>1.
    Объединяем два решения, получим х - любое.
    Ответ: х - любое.
    в)
    ? ? ?
    ? ?
    
    Ответ: х?1.
    г)
    
    
    или
    
    
    ? х?3
    
    Ответ: .
    Задачи для самостоятельного решения
    Уважаемые ребята, ниже приводятся задания для самостоятельного решения, которые следует выполнить, оформить отдельно от заданий по другим предметам и выслать в адрес Хабаровской краевой заочной физико-математической школы.
    Наш адрес: 680000, г. Хабаровск, ул. Дзержинского, 48, ХКЦТТ ( ХКЗФМШ).
    М11.9.1. ............