ПЛАН

1.   Предикаты и кванторы.

Понятие формулы исчисления предикатов.

2.   Аксиоматическое представление узкого исчисления предикатов.

3.   Натуральное узкое исчисление предикатов.

4.   Погружение аристотелевской силлогистики в узкое исчисление предикатов.

5. Расширенное исчисление предикатов.

Литература

1. ПРЕДИКАТЫ И КВАНТОРЫ

Исчисление высказываний образует основную часть математической логики. Но оно не составляет достаточного базиса для анализа всех правил рассуждений, потому что оставляет в стороне внутреннюю структуру высказываний. Исчисление предикатов преследует цель расширить наши представления о правилах правильных рассуждений на основании учета внутренней структуры высказываний.

Анализ содержания высказываний таких как «Роза-растение», «а>в», «Точка А лежит между точками В и С» и др. позволяет сделать вывод, что в высказываниях речь идет о том, что предметы, указанные в высказываниях, обладают какими-то свойствами или находятся в каких-то отношениях. Ту часть высказывания, в которой говорится о свойствах или отношениях принято считать предикатом, если имена предметов, которые обладают этими свойствами или отношениями, заменены переменными, принимающими значения из множества самого общего вида. Так что предикат зависит не только от того, о каких свойствах или отношениях идет речь, но и от переменных. Например, из высказывания «Роза растение» получается предикат «х - растение», из высказывания «а>в» - предикат «х>у», а из высказывания «Точка А лежит между точками В и С» - предикат «Точка Х лежит между точками Y и Z».

Если обозначить ту часть высказываний, в которой говорится о свойствах или отношениях большими латинскими буквами Р, Q, R, … с индексами или без них, а переменные – традиционно малыми латинскими буквами х, y, z ,… с индексами или без них, то обозначение предиката примет вид Р (х), Q(х,у), L(х,y,z) и т.д. Число n переменных или аргументов, от которых зависит предикат называется n -местностью предиката, так что можно говорить об одноместном предикате, двухместном и т.д.

Запись предиката Р (х), Q(х,у) и т.д. ничем не отличается от записи математической функции. Но это не только случайное совпадение. Если подставлять в предикаты имена предметов, эти имена традиционно обозначаются малыми латинскими буквами а, в, с, d,… с индексами или без них, то предикаты превращаются в высказывания истинные или ложные. Так если Р (х) считать записью предиката «х - растение», то, подставляя вместо х имена «Роза», «Лилия» получаем истинное высказывание «Роза - растение», «Лилия - растение». Если же вместо х подставить имена «камень», «железо» - то ложное высказывание «камень -растение», «железо - растение». Обозначив через «0» «ложь», а через «1» «истину», получаем из предиката Р (х1, х2, …, хп) двухзначную функцию, аргументы которой принимает значение из множества самого общего вида.

При подстановке в предикат, вместо переменных имен предикатов он превращается в высказывание. Так что предикат, скажем предикат Р(х), можно рассматривать записью некоторого множества высказываний, мощность которого равна мощности множества значений аргумента. ............