Министерство образования и науки Украины
Днепропетровский Национальный Университет
Факультет электроники, телекоммуникаций и компьютерных систем
Кафедра АСОИ
Расчётная задача №2
«Исследование операций»
Выполнил:
Ст. группы РС-05
Проверил:
Доцент кафедры АСОИ
Саликов В.А.
г. Днепропетровск
2007г.
Условие задачи
1)Решим графическим методом
Следовательно, оптимальное решение: X1=4/9
Х2=35/9
Минимальное значение целевой функции: Z=55/9
2)Симплекс-метод
В случае, когда одно или несколько ограничений имеют знаки ³ или = невозможно получить решение. Для получения начального допустимого базиса вводят искусственные переменные R1,R2,R3,R4. Поскольку R1,R2,R3,R4 не имеют отношение к содержательной постановке задачи, то за их применение назначается штраф. В ходе решения задачи на заключительной итерации эти переменные должны принять нулевое значение и выйти из базиса.
Симплексный метод решения задачи линейного программирования основан на переходе от одного опорного плана к другому, при котором значение целевой функции возрастает (при условии, что данная задача имеет оптимальный план, и каждый ее опорный план является невырожденным). Указанный переход возможен, если известен какой-нибудь исходный опорный план.
Приведем задачу к каноническому виду:
Z=5x1+x2 min
Добавим в систему уравнений искусственные переменные R
при ограничениях:
x1 >= 0; x2 >= 0; x3 >= 0; x4 >= 0; x5 >= 0; x6 >= 0; x7 >= 0; x8 >= 0; x9 >= 0; R1 >= 0; R2 >= 0; R3 >= 0; R4 >= 0
Существуют базисные и небазисные переменные.
Включающиеся переменные называются небазисными в данный момент переменными, которые включаются в состав базиса на следующей итерации.
Исключаемые - базисные переменные, которые на следующей итерации подлежат исключению.
На следующем шаге необходимо подставить значение в целевую функцию:
Таким образом, задача в стандартной форме имеет следующий вид:
x1 >= 0; x2 >= 0; x3 >= 0; x4 >= 0; x5 >= 0; x6 >= 0; x7 >= 0; x8 >= 0; x9 >= 0; R1 >= 0; R2 >= 0; R3 >= 0; R4 >= 0
Перенесем члены целевой функции влево
z -5x1-1x2 = 0
Далее задача решается обычным симплекс-методом
Шаг 0. Используя линейную модель стандартной формы, определяют начальное допустимое базисное решение путем приравнивания к нулю n- m небазисных переменных.
Шаг 1. Из числа небазисных переменных (равных нулю) выбирается включаемая в новый базис переменная, увеличение которой обеспечивает больший по сравнению с остальными рост целевой функции (условие оптимальности). Если такой переменной нет, вычисления прекращаются и полученное решение является оптимальным. В противном случае, переходят к шагу 2.
Шаг 2. Из числа переменных текущего базиса выбирается исключаемая переменная, значение которой быстрее всех стремится к нулю при переходе к новой смежной точке (становящаяся небазисной и равной нулю при введении в базис новой переменной - условие допустимости).
Шаг 3. Определяется новое базисное решение (соответствующее новой смежной точке, т.е. новому составу базисных и небазисных переменных) и осуществляется переход к шагу 1.
Строим симплекс таблицу:
Базис
Решение Оценка Z
0
0 0 0 0 0 0
-2
1
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 6
1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 6 -
0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 7 7
1 7 -1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 7
1
2 5 0 0 -1 0 0 0 0 0 1 0 0 10 2
5 2 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 1 0 10 5
7 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 1 7 7
- ведущий столбец
- ведущая строка
Из числа текущих небазисных переменных выбирается включаемая в новый базис переменная, увеличение которой обеспечивает улучшение целевой функции
Для определения нового базисного решения (шаг 3) воспользуемся методом Гаусса-Жордана:
А) новая ведущая строка = предыдущая ведущая строка / ведущий элемент;
Б) новое уравнение = предыдущему уравнению – {старый коэффициент ведущего столбца, соответствующий искомому уравнению * новую ведущую строку}
Новая симплекс – таблица будет иметь следующий вид:
