МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОРОНЕЖСКИЙ ИНСТИТУТ ВЫСОКИХ ТЕХНОЛОГИЙ Факультет заочного и послевузовского обучения
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
     КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1
    
     По дисциплине: "Теория вероятностей и элементы математической статистики"
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
     Воронеж 2004 г. Вариант - 9. Задача № 1.
    №№ 1-20. Техническое устройство, состоящее из трех узлов, работало в течение некоторого времени t. За это время первый узел оказывается неисправным с вероятностью р1, второй - с вероятностью р2, третий - с вероятностью р3. Найти вероятность того, что за время работы: а) все узлы оставались исправными; б) все узлы вышли из строя; в) только один узел стал неисправным; г) хотя бы один узел стал неисправным (см. исходные данные в таблице).
    p1=0,4 p2=0,6 p3=0,9
    
    Решение:
    Пусть событие А означает, что первый узел оказался неисправным, В оказался неисправным второй узел и С - оказался неисправным третий узел, тогда - первый узел был исправен в промежуток времени t, - был исправен второй узел, - был исправен третий узел.
    
    а) Пусть событие D означает, что все узлы оставались исправными, тогда . Поэтому , учитывая независимость событий , и , по теореме умножения вероятностей имеем:
    
    б) Пусть событие Е - все узлы вышли из строя, тогда:
    
    в) Пусть событие F - только один узел стал неисправным, тогда:
    События несовместные. Поэтому, применяя теорему сложения вероятностей несовместимых событий, получим:
    
    г) Пусть событие D1 - хотя бы один узел стал неисправным, тогда: . Задача № 2
    №39. По линии связи могут быть переданы символы А, В, С. Вероятность передачи символа А равна 0,5; символа В - 0,3; символа С - 0,2. Вероятности искажения при передаче символов А, В, С равны соответственно 0,01; 0,03; 0,07. Установлено, что сигнал из двух символов принят без искажения. Чему равна вероятность, что передавался сигнал АВ?
    Решение:
    Пусть событие А - передача символа А, событие В - передача символа В, событие С - передача символа С, событие - искажение при передаче символа А, событие и - искажения при передаче символов В и С соответственно.
    По условию вероятности этих событий равны: , , , ,
    Если события , и - искажения при передаче символов, то события , и - отсутствие искажений при передаче. Их вероятности:
    
    Обозначим через D событие, состоящее в том, что были переданы два символа без искажений.
    Можно выдвинуть следующие гипотезы:
    Н1 - переданы символы АА,
    Н2 - символы АВ,
    Н3 - символы ВА,
    Н4 - символы АС,
    Н5 - символы СА,
    Н6 - символы ВВ,
    Н7 - символы ВС,
    Н8 - символы СВ,
    Н9 - символы СС.
    Вероятности этих гипотез:
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    Условные вероятности события D если имела место одна из гипотез будут:
    
    
    По формуле Бейеса вычислим условную вероятность с учетом появления события Р:
    Задача № 3
    
    №№ 41-60. ............