Файл FERMA-KDVar © Н. М. Козий, 2008

Свидетельство Украины № 27312

о регистрации авторского права

КРАТКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА

Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение (http://soluvel.okis.ru/evrika.html):

 

Аn+ Вn = Сn*                                   /1/

где n- целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах A, B, С.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Из формулировки Великой теоремы Ферма следует: если n – целое положительное число, большее двух, то при условии, что два из трех чисел А, В или С - целые положительные числа, одно из этих чисел не является целым положительным числом.

Доказательство строим, исходя из основной теоремы арифметики, которая называется «теоремой о единственности факторизации» или «теоремой о единственности разложения на простые множители целых составных чисел». Возможны нечетные и четные показатели степени n. Рассмотрим оба случая.

1. Случай первый: показатель степени n - нечетное число.

В этом случае выражение /1/ преобразуется по известным формулам следующим образом:

 

Аn + Вn = Сn = (A+B)[An-1-An-2·B +An-3·B2- …-A·Bn-2+Bn-1] /2/

Полагаем, что A и B – целые положительные числа.

Числа А, В и С должны быть взаимно простыми числами.

Из уравнения /2/ следует, что при заданных значениях чисел A и B множитель (A+B) имеет одно и тоже значение при любых значениях показателя степени n, следовательно, он является делителем числа С.

Допустим, что число С - целое положительное число. С учетом принятых условий и основной теоремы арифметики должно выполняться условие:

 

Сn = An + Bn =(A+B)n∙ Dn , /3/

где множитель Dn должен быть целым числом и, следовательно, число D также должно быть целым числом.

Из уравнения /3/ следует:

 /4/

Из уравнения /3/ также следует, что число [Cn = An + Bn] при условии, что число С – целое число, должно делиться на число (A+B)n . Однако известно, что:

 

An + Bn < (A+B)n /5/

Следовательно:

- дробное число, меньшее единицы. /6/

- дробное число.

Отсюда следует, что при нечетном значении показателя степени n уравнение /1/ великой теоремы Ферма не имеет решения в целых положительных числах.

При нечетных показателях степени n >2 число:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

Из анализа уравнения /2/ следует, что при нечетном показателе степени n число:

 

Сn = Аn + Вn = (A+B)[An-1-An-2·B +An-3·B2- …-A·Bn-2+Bn-1]

состоит из двух определенных алгебраических множителей, при этом при любом значении показателя степени n неизменным остается алгебраический множитель (A+B).

Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах при нечетном показателе степени n >2.

2.   Случай второй: показатель степени n - четное число.

Суть великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение /1/ перепишем следующим образом:

 

An = Cn - Bn /7/

В этом случае уравнение /7/ преобразуется следующим образом:

 

An = Cn - Bn = (С+B)∙(Cn-1 + Cn-2 · B + Cn-3∙ B2 +…+ C ∙ Bn-2 + Bn-1 ). ............