1. Матрицы. Терминология и обозначения. Матрицей размера (mxn) называется набор m?n чисел - элементов м-цы Ai,j, записанных в виде прямоугольной таблицы: Набор аi1, ai2, ain - наз iтой строкой м-цы. Набор a1j, a2j, amj - jтым столбцом. М-ца размером 1хп - называется строкой, вектором; м-ца размером mx1 - столбцом. Если размерность пхп - матрица называется квадратной. Набор элементов а11, а22, апп образует главную диагональ м-цы. Набор а1п, а1,п-1, ап1 - побочную диагональ. М-ца все эл-ты, которой = 0 наз. нулевой. Квадратная м-ца, элементы главной диагонали которой равны 1, а все остальные - 0, называется единичной, обозн.: Е Матрицы: А(I,j) и B(I,J) называется равными, если равны их размеры и их элеме6нты в одинаковых позициях совпадают. 2. Действия с матрицами 1) Сложение Суммой м-ц А(I,j) и B(I,J) наз. м-ца С(I,J) элементы кот, выч по формуле: Сij=Aij+Bij (I=1...m, j = 1...n) C=A+B (размер всех м-ц: mxn) 2) умножение м-цы на число Произведение м-цы А = (Aij) размера mxn на число С называется матрица: B=(Bij) размера mxn, элементы кот, выч. по формуле: Вij=С?Aij (I=1...m, j = 1...n) В=С?А вычитание: С=А+(-)В = А-В 3) умножение м-ц А=(Aik), B=(Bkj) - квадратные м-цы порядка n. Произведением А на В называют м-цу С= (Сij) элементы, кот выч. по формуле: Сij = Ai1?B1j+... Ain?BnJ С=АВ. Можно записать так: Порядок сомножителей в матрице существенен: АВ не равно ВА Св-ва умножения м-цы: (АВ)С=А(ВС) А(В+С)=АВ+АВ, (А+В)С=АС+ВС Произведение двух прямоугольных матриц существует, если их внутренние размеры (число столбцов первой, и число строк второй) равны. 3. Порядки суммирования. Транспонирование м-цы Сумму Н всех элементов квадратной м-цы А можно вычислить 2 мя способами: 1. Находя сумму элементов каждого столбца и складывая полученные суммы: 2. Находя сумму элементов каждой строки и складывая эти суммы: отсюда вытекает, что порядок суммирования в двойной сумме можно менять. Матрица называется транспонированной по отношению к м-це А= Обозначается АТ. При транспонировании строки переходят в столбцы, а столбцы в строки и если А размером mxn, то АТ будет размером nxm Св-ва операции транспонирования. 1 (АТ)Т=А 2 (А+В)Т=АТ+ВТ 3 (СА)Т=САТ (С-число) 4 (АВ)Т=АТ?ВТ 4. Элементарные преобразования матрицы. 1 Переставление двух строк 2 Умножение строки на не равное 0 число В 3 Прибавление к строке матрицы другой ее строки, умноженной на число С. Также производят элементарные преобразования столбцов. 5. Матрицы элементарных преобразований. С элементарными преобразованиями тесно связаны квадратные матрицы элементарных преобразований. Они бывают следующих типов: 1 м-цы получающиеся из единичных путем перестановки двух любых строк например м-ца: получена перестановкой 2 и 4 строки 2 тип. м-цы получающиеся из единичной заменой диагонального элемента на произвольное не нулевое число: отличается от единичной элементом В во второй строке 3 тип отличающиеся лишь одним недиагональным не нулевым элементом: Основное св-во матриц элементарных преобразований Элементарное преобразование произвольной матрицы равносильно умножению этой м-цы на матрицу элементарных преобразований Элементарные преобразования строк м-цы А 1 умножение м-цы А на м-цу 1 типа слева переставляет строки с номерами I,j 2 Умножение м-цы А на м-цу второго типа слева равносильно умножению j строки м-цы А на число В 3 прибавление к jстороке м-цы А ее iтой строки, умноженной на число С равносильно умножению м-цы А на м-цу 3 типа слева Элементарные преобразования столбцов м-цы А 1 умножение м-цы А на м-цу 1 типа справа переставляет столбцы с номерами I,j 2 Умножение м-цы А на м-цу второго типа справа равносильно умножению j столбца м-цы А на число В. ............