№1 1 Двойной интеграл Рассмотрим в плоскости Оху замкнутую область D, ограниченную линией Г, являющейся замкнутой непрерывной кривой. z = l(P) = f(x,y), P= (x,y) ? D - произвольные ф-ции определенные и ограниченные на D. Диаметром области D наз. наибольшее расстояние между граничными точками. Область D разбивается на n частых областей D1...Dn конечным числом произв. кривых. Если S - площадь D, то ?Si - площадь каждой частной области. Наибольший из диаметров областей обозн ?. В каждой частной области Di возьмем произв. точку Pi (?i , Di) ? Di, наз. промежуточной. Если диаметр разбиения D ? --> 0 , то число n областей Di --> ?. Вычислим зн-ие ф-ции в промежуточных точках и составим сумму:I = f(?i, Di)?Si (1), наз. интегральной суммой ф-ции. Ф-ция f(x,y) наз. интегрируемой в области D если существует конечный предел интегральной суммы. Двойным интегралом ф-ии f(x,y) по области D наз. предел интегральной суммы при ? --> 0. Обозн: или 2 Понятие числового ряда и его суммы Пусть задана бесконечная последовательность чисел u1, u2, u3... Выражение u1+ u2+ u3...+ un (1) называется числовым рядом, а числа его составляющие- членами ряда. Сумма конечно числа n первых членов ряда называется n-ной частичной суммой ряда: Sn = u1+..+un Если сущ. конечный предел: , то его называют суммой ряда и говорят, что ряд сходится, если такого предела не существует, то говорят что ряд расходится и суммы не имеет. № 2 1 Условие существования двойного интеграла Необходимое, но недостаточное: Ф-ция f(x,y) интегрируема на замкнутой области D, ограничена на D. 1 достаточный признак существования: если ф-ция f(x,y) непрерывна на замкнутой, огр. области D, то она интегрируема на D. 2 достаточный признак существования: если ф-ция f(x,y) ограничена в замкнутой области D с какой-то границей и непрерывна в ней за исключением отдельных точек и гладки=х прямых в конечном числе где она может иметь разрыв, то она интегрируема на D. 2 Геометрический и арифметический ряды Ряд состоящий из членов бесконечной геометрической прогрессии наз. геометрическим: или а+ а?q +...+a?qn-1 a ? 0 первый член q - знаменатель. Сумма ряда: следовательно конечный предел последовательности частных сумм ряда зависит от величины q Возможны случаи: 1 |q|1 и предел суммы так же равен бесконечности т. е. ряд расходится. 3 при q = 1 получается ряд: а+а+...+а... Sn = n?a ряд расходится 4 при q?1 ряд имеет вид: а-а+а ... (-1)n-1a Sn=0 при n четном, Sn=a при n нечетном предела частных суммы не существует. ряд расходится. Рассмотрим ряд из бесконечных членов арифметической прогрессии: u - первый член, d - разность. Сумма ряда при любых u1 и d одновременно ? 0 и ряд всегда расходится. №3 1 Основные св-ва 2ного интеграла 1. Двойной интеграл по области D = площади этой области. 2. Если область G содержится в Д, а ф-ция ограничена и интегрируема в Д, то она интегрируема и в G. 3. Аддитивное св-во. Если область Д при помощи кривой г разбивают на 2 области Д1 и Д2, не имеющих общих внутренних точек, то: 4. константы выносятся за знак интеграла, а сумму в ф-ции можно представить в виде суммы интегралов: 5. Если ф-ции f и g интегрируемы в Д, то их произведение также интегрируемо в Д. Если g(x,y) ? 0 то и f/g интегрируема в Д. 6. Если f(x,y) и g(x,y) интегрируемы в Д и всюду в этой области f(x,y) =0 то и 7. Оценка абсолютной величины интеграла: если f(x,y) интегрируема в Д, то и |f(x,y)| интегрир. в Д причем обратное утверждение неверно, итз интегрируемости |f| не следует интегрируемость f. 8. Теорема о среднем значении. Если ф-ция f(x,y) интегр. ............