Линейные диофантовы уравнения Курсовая работа Выполнил студент IV курса физико-математического факультета Белов Денис Владимирович Вятский государственный гуманитарный университет Киров, 2006 г. Введение.
    Определим цели, стоящие перед данной работой. Для этого дадим два определения.
    Определение 1. Диофантовым уравнением 1-ой степени (линейным) с неизвестными называется уравнение вида
    ,
    где все коэффициенты и неизвестные - целые числа и хотя бы одно .
    Для сокращения записи условимся далее сокращать фразу линейное диофантово уравнение, как ЛДУ.
    Определение 2. Решением ЛДУ называется упорядоченная n-ка целых чисел , такая, что .
    Нашей целью будет научиться находить решения неопределенного уравнения первой степени, если это решение имеется.
    Для этого, необходимо ответить на следующие вопросы:
    1). Всегда ли ЛДУ имеет решений, найти условия существования решения.
    2). Имеется ли алгоритм, позволяющий отыскать решение ЛДУ.
    Работа состоит из двух глав, в первой приведены теоретические материалы, во второй решения некоторых задач.
    В части 1.1 приведены выдержки из истории неопределенных уравнений. В части 1.2. в виде теоремы приводится необходимое и достаточное условие существования решения ЛДУ, также говорится о числе решений. Далее рассматриваются методы нахождения решений, в пункте 1.3 для некоторых частных случаев, в пункте 1.4 для любого ЛДУ, имеющего решение. 1. Диофант и история диофантовых уравнений.
    Диофант (Diophantos) представляет одну из занимательных загадок в истории математики. Мы не знаем, кем был Диофант, точные года его жизни, нам не известны его предшественники, которые работали бы в той же области, что и он. [10]
    На могиле Диофанта есть стихотворение-загадка, решая которую нетрудно подсчитать, что Диофант прожил 84 года. О времени жизни Диофанта мы можем судить по работам французского исследователя науки Поля Таннри, и это, вероятно, середина III в.н.э. [10]
    Наиболее интересным представляется творчество Диофанта. "Труды его подобны сверкающему огню среди полной непроницаемой тьмы". [Стройк] До нас дошло 7 книг из, возможно, 13 [1], которые были объединены в "Арифметику". Стиль и содержание этих книг резко отличаются от классических античных сочинений по теории чисел и алгебре, образцы которых мы знаем по "Началам" Евклида, леммам из сочинений Архимеда и Аполлония. "Арифметика", несомненно, явилась результатом многочисленных исследований, многие из которых остались нам неизвестны. Мы можем только гадать о её корнях и изумляться богатству и красоте её методов и результатов.
    "Арифметика" Диофанта - это сборник задач (их всего 189), каждая из которых снабжена решением и необходимым пояснением. В собрание входят весьма разнообразные задачи, а их решение часто в высшей степени остроумно. Диофант практиковался в нахождении решений неопределенных уравнений вида , или систем таких уравнений. Типично для Диофанта, что его интересуют только положительные целые и рациональные решения. Иррациональные решения он называет "невозможными" и тщательно подбирает коэффициенты так, чтобы получились искомые положительные, рациональные решения. ............