Міністерство освіти і науки України

ФАКУЛЬТЕТ  ІНФОРМАТИКИ

КАФЕДРА ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНИХ ДИСЦИПЛІН

Реєстраційний №________

Дата ___________________

КУРСОВА РОБОТА

з математичних методів дослідження операцій

Тема: Лінійна залежність –мірних векторів. Програма.

Рекомендована до захисту

“____” __________  2007р.

Робота захищена

“____” __________  2007р.

з оцінкою

_____________________

Підписи членів комісії

Зміст

Вступ

Теорія

Опис програми

Текст програми

Контрольні приклади

Висновки

Література

Вступ

Дана робота присвячена введенню, одного з найважливіших понять, яке використовується не тільки в алгебрі, але й в багатьох інших розділах математики. Дамо просте визначенню лінійної залежності системи векторів в мірному просторі.

Визначення (*) Система векторів  називається лінійно залежної, якщо існує такий набір коефіцієнтів   ,  з яких хоча б один відмінний від нуля, що .

Система векторів, що не є лінійно залежної, називається лінійно незалежної. Але останнє визначення краще сформулювати по іншому.

Визначення (**) Система векторів  називається лінійно незалежної, якщо рівність  можлива тільки при .

Теорія

 

Припущення 1 Система векторів  лінійно залежний тоді і тільки тоді, коли один з векторів системи є лінійною комбінацією інших векторів цієї системи.

Доведення.

 Нехай система векторів лінійно залежна. Тоді існує такий набір коефіцієнтів , що , причому хоча б один коефіцієнт відмінний від нуля. Припустимо, що . Тоді:

,

тобто  є лінійною комбінацією інших векторів системи.

Нехай один з векторів системи є лінійною комбінацією інших векторів. Припустимо, що це вектор , тобто . Очевидно, що . Одержали, що лінійна комбінація векторів системи дорівнює нулю, причому один з коефіцієнтів відмінний від нуля (дорівнює ).

Припущення 2 Якщо система векторів містить лінійно залежну підсистему, те вся система лінійно залежна.

Доведення.

Нехай у системі векторів  підсистема , , є лінійно залежної, тобто ,, і хоча б один коефіцієнт відмінний від нуля. Тоді складемо лінійну комбінацію ,. Очевидно, що ця лінійна комбінація дорівнює нулю, і що серед коефіцієнтів є ненульовий.

Припущення 3  Система, що складається з одного вектора, лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли цей вектор нульової.

Доведення.

Нехай система складається з вектора . Лінійна комбінація має вид . Якщо , то , тобто система лінійно залежна. Якщо  і , то  .   

Припущення 4 Система, що складається з двох векторів, лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли ці вектори колінеарні.   

Доведення цієї пропозиції тривіальне – воно аналогічно доказу наступного припущення.

Припущення 5   Система з трьох векторів лінійно залежна тоді і тільки тоді,  коли ці вектори компланарні.

Доведення.

Нехай вектори  - компланарні. Якщо   - колінеарні, то в силу попереднього пропозиції вони утворять лінійно залежну підсистему системи . За припущенням 2 система  - лінійно залежна. Якщо вектори   - не колінеарні, то   є лінійною комбінацією векторів   і за припущенням 1 система векторів    - лінійно залежна. ............