РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Факультет «Экономический»

Кафедра «Экономика, финансы и управление на транспорте»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине: «ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ»

Воронеж 2008

Задача №1

 

Метод потенциалов для решения транспортной задачи в матричной форме с ограничениями пропускной способности.

Задание:

1.      Построить оптимальный план перевозок каменного угля с пяти станций Аi (i = 1,2,3,4,5), до девяти крупных потребителей, имеющих подъездные пути Вj (j = 1,2,…,9).

2.      Определить объем тонно-километровой работы начального и оптимального планов перевозки грузов.

Исходные данные (вариант 67):

Данные о наличии ресурсов на пяти станциях отправления Аi приведены в таблице 1, данные о размерах прибытия груза Вj на девять станций назначения – в таблице 2.

Таблица 1 - Ресурсы станций отправления Аi (строки матрицы)

Таблица 2 - Объем потребности Вj получателя (столбцы матрицы)

Номер станции назначения Значение

В1

135

В2

105

В3

95

В4

115

В5

85

В6

105

В7

90

В8

135

В9

135 Итого: 1000

Решение:

Расстояние перевозки от каждой i–й станции отправления до каждой j–й станции назначения указано в правом верхнем углу каждой клетки матрицы. В левом верхнем углу ряда клеток матрицы указаны ограничения пропускной способности.

Условием задачи установлено, что размер всех ресурсов у отправителей равен общей потребности получателей:

С учетом полученных условий необходимо найти такие неотрицательные значения величин объемов перевозок хij, при которых сумма произведений значений критерия Сij на размер перевозок будет минимальной, т.е.

Первоначально строится начальный план базисного варианта способом наименьшего значения критерия.

Любой допустимый план является оптимальным тогда и только тогда, когда каждой строке и каждому столбцу матрицы могут быть присвоены некоторые числа Ui и Vj, называемые потенциалами и отвечающие условиям:

Vj – Ui ≤ Cij для хij = 0; (1)

Vj – Ui = Cij для dij > хij > 0; (2)

Vj – Ui ≥ Cij для хij = dij; (3)

где Vj – потенциал j–го столбца;

Ui – потенциал i–й строки;

Cij – расстояние перевозки от i–го поставщика до j–го потребителя;

хij – корреспонденция (размеры перевозок) от i–го поставщика до j–го потребителя;

dij – величина пропускной способности ij клетки.

Присвоение потенциалов начинают со строки, в которой среди базисных клеток имеется максимальное расстояние. Этой строке можно присвоить любой положительный потенциал, например, 100. Затем, используя условие оптимальности (2), находят потенциалы остальных строк и столбцов по формулам:

для j–го столбца

Vj = Ui + Cij;

для i–й строки

Ui = Vj – Cij.

Корреспонденция улучшения плана находится из следующего выражения:

хул = min [хij четн, (dij – хij)нечетн]

Вj

Аi

В1=135 В2=105 В3=95 В4=115 В5=85 В6=105 В7=90 В8=135 В9=135

Ui

– 90 30 100 110 150 30 50 + 60 80 90 А1=150 45 30 75 100 х 1+40 х + 10 40 45 50 – 25 70 30 15 30 10 30 А2=160 80 80 180 х 1+20 х 1+10 10 20 35 80 160 90 + 80 – 70 40 60 А3=400 10 105 ● 15 135 135 90 х 1+20 1+25 1+90 х х х 50 5 40 30 120 40 75 30 40 20 А4=150 95 55 220 х х 15 15 25 10 20 35 + 25 – 80 20 70 90 А5=140 95 20 5 20 180 х х х

Vj

190 125 190 250 205 260 160 130 150

F(х) = 45·90 + 30·50 + 75·60 + 80·10 + 80·25 + 10·20 + 105·35 + 15·70 + 135·40 + 135·60 + 95·30 + 55·40 + 95·10 + 20·35 + 5·25 + 20·80 = 39700 ден. ............