Магнитогорский Государственный Технический Университет имени Г.И.Носова
    
    
    
    
    Кафедра математики
    
    
    
    
    
    Реферат
     Тема: Метод прогонки решения систем с трехдиагональными
    матрицами коэффициентов Выполнил: студент группы ЭА-04-2
    Романенко Н.А.
    
    Проверил: Королева В.В.
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    Магнитогорск 2004
     Часто возникает необходимость в решении линейных алгебраических систем, матрицы которых, являясь слабо заполненными, т.е. содержащими немного ненулевых элементов, имеют определённую структуру. Среди таких систем выделим системы с матрицами ленточной структуры, в которых ненулевые элементы располагаются на главной диагонали и на нескольких побочных диагоналях. Для решения систем с ленточными матрицами коэффициентов метод Гаусса можно трансформировать в более эффективные методы.
    Рассмотрим наиболее простой случай ленточных систем, к которым, как увидим впоследствии, сводится решение задач сплайн-интерполяции функций, дискретизации краевых задач для дифференциальных уравнений методами конечных разностей, конечных элементов и др. А именно, будем искать решение такой системы, каждое уравнение которой связывает три "соседних" неизвестных:
    
     bixi-1+cixi+dixi=ri (1)
     где i=1,2,...,n; b1=0, dn=0. Такие уравнения называются трехточечными разностными уравнениями второго порядка. Система (1) имеет трёхдиагональную структуру, что хорошо видно из следующего, эквивалентного (1), векторно-матричного представления: c1 d1 0 0 ... 0 0 0 x1 r1 b2 c2 d2 0 ... 0 0 0 x2 r2 0 b3 c3 d3 ... 0 0 0 x3 r3 . . . . ... . . . * ... = ... 0 0 0 0 ... bn-1cn-1 dn-1 xn-1 rn-1 0 0 0 0 ... 0 bn cn xn rn Как и в решении СЛАУ методом Гаусса, цель избавится от ненулевых элементов в поддиаганальной части матрицы системы, предположим, что существуют такие наборы чисел ?i и ?i (i=1,2,...,n), при которых xi= ?ixi+1+ ?i (2)
    т.е. трехточечное уравнение второго порядка (1) преобразуется в двухточечное уравнение первого порядка (2). Уменьшим в связи (2) индекс на единицу и полученое выражение xi-1= ?i-1xi+ ?i-1 подставим в данное уравнение (1):
     bi?i-1 xi+ bi ?i-1+ cixi+ dixi+1= ri откуда xi= -((di /( ci+ bi?i-1)) xi-1+(ri - bi ?i-1)/( ci - bi ?i-1)). Последнее равенство имеет вид (2) и будет точно с ним совпадать, иначе говоря, представление (2) будет иметь место, если при всех i=1,2,...,n выполняются рекуррентные соотношения ?i = - di /( ci+ bi?i-1) , ? i=(ri - bi ?i-1)/( ci - bi ?i-1) (3)
    Легко видеть, что, в силу условия b1=0, процесс вычисления ?i , ?i может быть начат со значений ?1 = - d1/ c1 , ?1 = r1/ c1 и продолжен далее по формулам (3) последовательно при i=2,3,...,n, причем при i=n, в силу dn=0, получим ?n=0.Следовательно, полагая в (2) i=n,будем иметь xn = ?n = (rn - bn ?n-1)/( cn - bn ?n-1) (где ?n-1 , ?n-1 - уже известные с предыдущего шага числа). Далее по формулам (2) последовательно находятся xn-1 , xn-2 ,..., x1 при i=n-1, n-2,...,1 соответственно. Таким образом, решение уравнений вида (1) описываем способом, называемым методом прогонки, сводится к вычислениям по трём простым формулам: нахождение так называемых прогоночных коэффициентов ?i , ?i по формулам (3) при i=1,2,...,n (прямая прогонка) и затем неизвестных xi по формуле (2) при i=n-1, n-2,...,1 (обратная прогонка).
     Для успешного применения метода прогонки нужно, чтобы в процессе вычислений не возникало ситуаций с делением на нуль, а при больших размерностях систем не должно быть строгого роста погрешностей округлений.
    Будем называть прогонку корректной, если знаменатели прогоночных коэффициентов (3) не обращаются в нуль, и устойчивой, если |?i||bi|+|di| i=1,2,...,n. (4)
    
    Тогда прогонка (3), (2) корректна и устойчива (т.е. ............