Реферат

Решение многих технических, химических, а также биологических задач требует решения задачи Коши. Эту задачу можно решать разными способами, как аналитическими, так и численными, применяя ЭВМ. Очень часто бывает важно получить результат в сжатые сроки. В этом случае предпочтение отдается численным методам. Кроме того, встречаются такие сложные дифференциальные уравнения, найти аналитическое решение которых либо вообще не представляется возможным, либо для этого требуются очень большие затраты времени и сил.

В работе детально рассматривается метод Рунге-Кутты четвертого порядка с автоматическим выбором длины шага интегрирования (это обеспечивает гораздо более высокую точность вычислений по сравнению с методом, использующим шаг постоянной длины), приводится необходимая теоретическая сводка, описание метода, а также программа для ЭВМ, результаты ее выполнения и иллюстрации.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение, метод Рунге-Кутты, метод Эйлера, порядок метода Рунге-Кутты, задача Коши, ряд Тейлора, отрезок, коэффициенты, шаг интегрирования, интегральная кривая.

Работа содержит 36 листов, включая 8 графиков, 4 иллюстрации и 12 таблиц.

Содержание

 

Введение

1. Теоретическая часть

1.1 Постановка задачи

1.2 Метод Эйлера

1.3 Общая формулировка методов Рунге-Кутты

1.4 Обсуждение методов порядка 4

1.5 «Оптимальные» формулы

1.6 Условия порядков для методов Рунге-Кутты

1.7 Оценка погрешности и сходимость методов Рунге-Кутты

1.7.1 Строгие оценки погрешности

1.7.2 Главный член погрешности

1.7.3 Оценка глобальной погрешности

1.8 Оптимальный выбор шага

2. Практическая часть

2.1 Описание программы «Ilya RK-4 версия 1.43»

Заключение Список использованных источников Приложение А. Графики функций Приложение Б. Пример таблицы значений функции y(x) Приложение В. Листинг программы «Ilya RK-4 версия 1.43»
Введение

Ввиду того, что для методов Рунге-Кутты не нужно вычислять дополнительные начальные значения, эти методы занимают особое место среди методов классического типа. Ниже будут рассмотрены их свойства, а также некоторые ограничения, присущие этим методам.

С увеличением числа этапов для больших задач, решаемых этими методами, возникли бы трудности с памятью ЭВМ, кроме того (и это важнее), для больших задач, как правило, всегда велики константы Липшица. В общем случае это делает методы Рунге-Кутты высокого порядка не пригодными для таких задач. Во всяком случае, другие методы обычно эффективнее и им следует отдавать предпочтение. Однако методы Рунге-Кутты четвертого порядка являются достаточно легко реализуемыми на ЭВМ, а наличие автоматического выбора шага дает возможность производить вычисления с хорошей точностью. Поэтому их целесообразно применять для довольно широкого множества задач.

Методы Рунге-Кутты имеют несколько весомых достоинств, определивших их популярность среди значительного числа исследователей. Эти методы легко программируются, обладают достаточными для широкого круга задач свойствами точности и устойчивости. Эти методы, как и все одношаговые методы, являются самостартующими и позволяют на любом этапе вычислений легко изменять шаг интегрирования.

В работе основное внимание сконцентрировано на вопросах точности и эффективности решения задач того типа, для которых методы Рунге-Кутты приемлемы.

Программная реализация методов Рунге-Кутты четвертого порядка с автоматическим выбором шага представлена в виде программы, написанной на языке высокого уровня Borland C++ 3.1. ............