Контрольная работа
«Методы оптимизации при решении уравнений»
Задание №1
Определить, существует ли кривая , доставляющая функционалу экстремум и, если существует, то найти ее уравнение.
Решение: Составим уравнение Эйлера и найдём его общее решение:
Используем краевые условия:
Решаем систему уравнений и получаем:
Таким образом, экстремаль имеет уравнение вида
Так как
то функционал на прямой достигает минимума.
Задание №2
Найти, используя уравнение Эйлера-Лагранжа, оптимальное управление , минимизирующее функционал для системы, описываемой уравнениями
,
при начальных и конечных условиях соответственно:
A B
t0
tf
x0
xf
a b
0 1
0 0
0
1
0 1
1
0
0
0
0 1
Решение
Формируем задачу по исходным данным:
(1)
(2)
Составим функцию Лагранжа и гамильтониан:
и соответственно уравнения Эйлера-Лагранжа (здесь для Н):
(3)
(4)
Используя замену (3), подставим выражения (4) во второе уравнение динамики в (1):
и находим общее решение
(5)
Подставим его в первое уравнение (1):
и находим общее решение:
(6)
Для из (6) и из (5) используем начальные и конечные условия и получаем систему уравнений для констант С1, С2, С3, С4,:
Таким образом, решение имеет вид:
которое удовлетворяет начальным и конечным условиям.
Задание №3
Для системы, описываемой уравнениями
с заданными условиями на начальное и конечное значение координат, найти оптимальное управление , минимизирующее функционал
A B
t0
tf
x0
xf
g0
a b
0 1
0 0
0
1
0 t
1
0
x1(tf) = -tf2
0 0 1
Решение. Формулируем задачу по исходным данным
(1)
(2)
т.е. , подвижна на правом конце, координата - свободна на правом конце,
Составим функцию Гамильтона Н (или функцию Лагранжа L)
(3)
и соответствующие уравнения Эйлера-Лагранжа:
(4)
(5)
(6)
Составим вспомогательную функцию
,
где . Таким образом:
. (7)
Поскольку и подвижны, то используем условия трансверсальности:
(8)
(9)
Так как не фиксирован момент времени , то используем условие трансверсальности
Найдем значение при из (3), но учтем, что , а из (9). Тогда, учитывая (4):
и используя (10) получим:
(11)
Подставляя (4), (5) и (6) в (2), а потом в (1) и интегрируя получим:
(12),
(13)
Используя начальные условия, можем записать:
Запишем условие с учетом (13). Тогда:
(14)
Уравнения (9), (11) и (14) составляют систему уравнений с тремя неизвестными С1, С2 и :
Подставляя 1-е уравнение во 2-е, получим:
,
а подставляя 1-е в третье, получим:
Таким образом, решение имеет вид:
Задание №4
Используя метод динамического программирования найти оптимальное уравнение для системы
A B
t0
tf
F a b
0 1
0 0
0
1
0 ∞ 0
1 0
0 2
1
Решение:
Формируем задачу по исходным данным.
(1)
– не ограничено, то есть .
Составим уравнение Беллмана с учетом того, что (S-функция Беллмана)
(2)
(3)
(4)
Из (3) находим:
(5)
Подставим (5) в (4)
(6)
Представим функцию Беллмана в виде квадратичной формы
(7)
причем это должна быть положительно определенная квадратичная форма, а значит
(8)
т.е. ............
