НА ЧЕМ СТОИТ МАТЕМАТИКА

Н.И. Кривохатько

Математика - это то, посредством

чего люди управляют природой

и собой.

А. Н. Колмогоров.

Не будет преувеличением сказать, что, начиная с 17 века, наука превратилась в доминирующий, стремительно набирающий вес фактор развития общества. Наука позволяет находить оптимальные решения в различных ситуациях, указывает пути исследования еще не решенных проблем, подсказывает, куда в данный момент целесообразнее всего направить силы и средства. В большинстве своем мы безоговорочно верим в мощь науки и ее непогрешимость.

Но насколько оправдана такая уверенность (местами даже вера)? Насколько в действительности совершенны инструменты науки и непогрешимы ее выводы? Возьмем на себя смелость усомниться в этом. И в оправдание этих сомнений приведем одно рассуждение. Речь в нем пойдет не о неадекватности какого-то конкретного подхода в какой-то прикладной науке - нет, темой исследования станет предполагаемое внутренное несовершенство науки, которая сама является критерием строгости и как бы даже "научности" любой другой науки. Речь пойдет о математике, причем о самих ее истоках, о тех ее представлениях, которые сложились в незапамятные времена и в течение столетий (точнее, даже тысячелетий) являлись ее незыблемым фундаментом - речь пойдет о числах, о смысле чисел как таковых и способах их представления.

Понятие числа находится в основании математики и ее применений. Отсюда, вопрос логического обоснования данного понятия является чрезвычайно важным для всей математики. Но обоснование чисел любого вида сводится в конце-концов к обоснованию понятия натурального числа. Существует много теорий натурального числа, но каждая из этих теорий имеет свои недостатки, поэтому вопрос логического обоснования понятия числа нельзя считать окончательно разрешенным.

Понятие числа отличается от многих других понятий математики своей первичностью. Это означает, что в преобладающем большинстве логических построений математики понятие числа относится к разряду тех понятий, которые не определяются через другие понятия, но вместе с аксиомами входят в состав первичных данных. Это означает, что математическая наука не содержит в себе ответа на вопрос "Что такое число?" - такого ответа, который заключался бы в определении этого понятия через другие, ранее установленные понятия; математическая наука дает этот ответ в иной форме, перечисляя свойства чисел, выраженные в аксиомах.

Но чем, скажем так, определяется "неопределяемость" понятия? С одной стороны, любое определяемое сейчас понятие в свое время было неопределяемым (чаще в том смысле, что отсутствовало вообще), но позже, в процессе развития познания, определения появлялись. С другой стороны, неопределяемость - это тоже как бы определение, но определение скорее состояния познания в контексте его возможностей. Следовательно, определяемость любого понятия зависит от возможностей познания, которые различны на каждом конкретном этапе развития общества. Но в ситуации, когда возможностей не хватает, а делать что-то надо, мы поступаем просто - используем первое, что дает хоть какое-то решение проблемы. Поэтому и в синтезе самих оснований математики - представлений о числе и построении числовых множеств присутствовал (и присутствует до сих пор) пусть спонтанный, пусть объективно обусловленный, но - произвол. ............