МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАБАРДИНО-БАЛКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Х.М. Бербекова Математический факультет Кафедра геометрии и высшей алгебры
     Лакунова Залина
     Дипломная работа "О некоторых применениях алгебры матриц" Научный руководитель: д.ф.-м.н.,проф.каф. Г и В А /В.Н.Шокуев / Рецензент: к.ф.-м.н.,доцент /В.М.Казиев/ Допущена к защите 2002г. Заведующий кафедрой к.ф.-м.н.,доцент /А.Х.Журтов/ Нальчик 2002
    
    Оглавление
     стр.
    
    Введение 3
    §1. О правиле Крамера 4
    
    §2. Применение циркулянтов малых порядков в теории чисел 9
    
    §3. Матричный вывод формулы Кардано 17
    
    Литература 21
    
    
    
    Отзыв
    
    О дипломной работе "О некоторых применениях алгебры матриц".
    Студентки 6 курса МФ специальности "математика" Лакуновой З.
    
    В данной дипломной работе рассматривается новые применения матриц в теории систем линейных уравнений, теории чисел и теории алгебраических уравнений малых степеней.
    В §1 дается новый (матричный) вывод правила Крамера для решения любых квадратных систем линейных уравнений с неравным нулю определителем.
    В §2 получено тождество (1) , которое используется для доказательства некоторых теоретико-числовых фактов (предложения 1-4); при этом основную роль играют матрицы- циркулянты и их определители. Здесь попутно доказана теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом трех положительных чисел.
    В §3 дается новый вывод правила Кардано для решения кубических уравнений; его можно назвать "матричным выводом" , поскольку он опирается на свойства циркулянта (третьего порядка).
    Считаю, что результаты получения в дипломной работе студентки Лакуновой З. удовлетворяют требованиям, предъявляемым к дипломным работам, и могут быть допущены к защите.
    Предварительная оценка - "хорошо"
    
    
    
    
    
    
    
    д.ф.-м.н., проф.каф. Г и ВА /В.Н.Шокуев/
    
     §1. О правиле Крамера
    В литературе известны разные способы решения Крамеровой системы линейных алгебраических уравнений. Один из них - матричный способ - состоит в следующем.
    Пусть дана Крамерова система, т.е. квадратная система линейных уравнений с неизвестными
     (1) Определитель которой отличен от нуля: (2) Систему (1) можно представить в виде одного матричного уравнения (3) где - матрица коэффициентов при неизвестных системы (1), (4)
    - столбец (Матрица-столбец) неизвестных
    - столбец свободных членов системы (1) Так как , то матрица невырожденная и для нее существует обратная матрица . Умножив равенство (3) на (слева), получим (единственное) решение системы в следующей матричной форме (в предположении, что она совместима и - ее решение) , где обратная матрица имеет вид: (-алгебраическое дополнение элемента в определителе )
    Другой известный способ можно назвать методом алгебраических дополнений. ............