Обобщенный принцип наименьшего действия канд. биол. наук М.П.Иванов, д-р техн. наук В.В.Кашинов ФНИИ им.А.А.Ухтомского, СПбГУ
    Введены континуально многозначные функции, позволяющие адекватно описывать физические задачи. Показано их отличие от разрывных функций. Сформулирована и решена вариационная задача для функционалов с разрывным интегрантом, зависящих от линейных интегральных операторов, действующих на искомую оптимизируемую функцию, причем ядро оператора и оптимизируемая функция могут быть континуально непрерывными. С помощью таких операторов можно адекватно описывать распределенные частицы.
    Хорошо известный в физике принцип наименьшего действия [1] основан на классическом вариационном исчислении, когда функционал зависит от экстремали и ее производных, применим только для нейтральных частиц. В заметке [2] показано, что для заряда ускорение запаздывает по отношению к возмущающей силе за счет лоренцевых сил трения, т.е. для заряда существует некоторая переходная импульсная характеристика, а движение заряда можно описать интегральным оператором. Поэтому для зарядов, когда нельзя связать значение ускорения в данный момент со значением возмущения в тот же (или другой) момент, принцип наименьшего действия неприменим. Для таких задач требуется другой математический аппарат. Обобщенный принцип наименьшего действия основан на методах обобщенного вариационного исчисления. Рассмотрим его. 1. Континуально многозначные функции
    В последнее время негладкие, разрывные и сингулярные функции стали привлекать внимание [3-5]. Построен пример непрерывно дифференцируемой разрывной функции на пространстве D - бесконечно дифференцируемых финитных функций [4]. При решении вариационных задач экстремалями иногда оказываются негладкие, т.н. разрывные или сингулярные функции [3, 5]. Однако понятие разрывности функций в точках разрыва) не всегда соответствует физическим и математическим объектам - непрерывным кривым, которые они фактически описывают.
    Рассмотрим кривую - прямоугольный импульс (рис. 1), определенный и непрерывный на всей оси абсцисс. Подобные объекты можно представить не только математически: например, так можно представить разложенную на плоской поверхности веревку. Но если про прямую b мы говорим, что она существует, и пишем при, то про точки x=0 и x=1 говорится, что в них функция терпит разрыв первого рода, а прямых a и c как бы нет, хотя веревка физических разрывов не имеет.
    
    Рис.1. Непрерывная кривая - прямоугольный импульс
    По-видимому, объясняется это тем, что рассмотрения многозначных функций традиционно стараются избегать. В нашем же случае точкам x=0 и x=1 соответствуют замкнутые отрезки [0,1], параллельные оси ординат, т.е. одной точке на оси абсцисс соответствует множество точек на оси ординат, имеющее мощность континуума. Получается не просто многозначность, а многозначность мощности континуума.
    Рассмотрим характерный пример - первую введенную в физике разрывную функцию - функцию Хевисайда, которая определяется [6-8] как предел последовательностей непрерывных функций, имеющих все производные. Поэтому график предельной функции вроде бы должен быть непрерывным. Этому противоречит определение функции Хевисайда, данное, например, в монографиях [6-8],
    (1.1)
    Введем уточненное определение функции включения, соответствующее предельному переходу в эквивалентных последовательностях [6] непрерывных функций, имеющее непрерывный график,
    (1.2)
    Если функцию включения (1.2) можно представить в виде непрерывной веревки, разложенной на плоской поверхности, то функция Хевисайда представляется той же веревкой, из которой вырезан кусок (сегмент [0,1]) в точке x=0. ............