Цель пособия

Цель создания данного пособия – на разных задачах, имеющих вероятностный характер, показать наиболее типичные алгоритмы их решения. С тем, чтобы не столько научить студента решать подобные задачи, сколько пробудить в нём интерес к теории вероятности.

На базе этого материала можно решать более сложные задачи теории вероятности.

Пособие будет полезным для самостоятельной работы студентов любых курсов специальностей: экономика, менеджмент, психология.

Раздел 1. Элементы комбинаторики

Соединения – это группы элементов некоторого конечного множества.

В элементарной алгебре рассматриваются 3 вида соединений: размещения, перестановки и сочетания [2]-[5]. Остановимся на вопросе о подсчёте числа таких комбинаций.

Размещения – упорядоченные m-элементные подмножества данного множества из n элементов (m<n), отличающиеся друг от друга порядком следования элементов или хотя бы одним элементом. Например, из 3-х цифр 7,8,9 можно составить 3 числа по одной цифре: 7, 8, 9 , – шесть чисел по 2 цифры:

Число всех возможных комбинаций из n элементов по m обозначается (arrangement(фр.) - размещение) и вычисляется по формуле:

 

Перестановки – упорядоченные n-элементные соединения из n элементов данного множества, отличающиеся лишь порядком элементов. Число перестановок из n элементов

 (1.2)

Например,

 и т.д.

Сочетания – неупорядоченные m-элементные соединения из n элементов данного множества, отличающиеся хотя бы одним элементом. Число различных сочетаний из n элементов по m обозначается символом  (combinare (лат.) - соединять).

 (1.3)

Например,

Используя основное свойство числа сочетаний , мы упростим вычисления

.

Кроме этого свойства числа сочетаний часто используется следующее:

.

Кроме того, принята, по определению, запись:

Задачи

 

Задача №1. В розыгрыше первенства страны по футболу приняло участие 16 команд. Сколькими способами могут быть распределены золотые и серебряные медали?

Решение. Золотую медаль может получить одна из 16 команд. После чего одна из 15 команд может иметь серебряную медаль. Общее число способов, которыми могут быть распределены золотая и серебряная медали, равно  (правило произведения).

Задача №2. В кафе предлагают 5 первых блюд, 6 вторых и 4 третьих. Сколькими способами можно составить обед?

Решение. Согласно правилу произведения число способов равно

.

Задача №3. В классе изучают 10 предметов. В понедельник 6 уроков (все уроки разные). Сколькими способами можно составить расписание на понедельник?

Решение. Здесь нужно воспользоваться формулой размещения из 10 элементов по 6:

.

Задача №4. Сколькими способами можно разделить 6 шоколадок 14 лицам? (1 место – 1 плитка).

Решение.

1.Все плитки различны. Число способов равно числу размещений из 14 по 6:

.

2.Все плитки одинаковы. Число способов равно числу сочетаний из 14 по 6:

Задача №5. В группе 20 мальчиков и 20 девочек. Все умеют петь, танцевать, декламировать. Сколькими способами можно составить дуэты из учащихся групп?

Решение. Число способов выбрать из 20 мальчиков певца, танцора и декламатора равно числу размещений из 20 по 3 - . Аналогично из 20 девочек: . Общее число способов выбора дуэтов певцов, танцоров и декламаторов по правилу произведения равно  способов.

Задача №6. ............