Отображения в пространстве R(p1,p2)
    
    §1. Пространство R(p1,p2).
    
    А1- аффинная прямая. Отнесем прямую А1 к подвижному реперу r = {a,?e}, где а и?e соответственно точка и вектор.
    Деривационные формулы репера r имеют вид:
    d a= ??e , d?e= W?e (1),
    причем формы Пфаффа ? и W подчиняются уравнениям структуры 1-мерного аффинного пространства :
    D ? = ??W , DW=W?W=0.
    Пусть e* - относительная длина вектора e* =?e + d?e + 1/2d2?e + 1/6d3?e +... по отношению к вектору ?е. Тогда ?e* =e*?e. Из (1) получаем :e* =1+W+... Таким образом, форма Пфаффа W является дифференциалом относительной длины вектора ?e* , близкого к ?e , по отношению к ?e.
    Пусть R(p1,p2) - пространство всех пар (p1,p2) точек p1,p2 прямой А1. Поместим начало а репера r в середину Q отрезка р1р2, а конец вектора ?е - в точку р1; при этом р2 совместится с концом вектора -?е.
    Условия стационарности точек р1 и р2 в таком репере имеют соответственно вид: W+?=0, -W+?=0.
    Таким образом , в репере r структурными формами пространства R(р1,р2) являются формы Пфаффа : W+? , -W+?.
    Очевидно, что dim R(p1,p2)=2. Заметим ,что в репере r форма 2W является дифференциалом относительной длины отрезка р1*р2*, близкого к р1р2,по отношению к р1р2.
    
    § 2. Отображение f.
    
    А2 - аффинная плоскость , отнесенная к подвижному реперу R={p,?ej}. Деривационные формулы репера R и уравнения структуры плоскости А2 имеют соответственно вид :dp=Wjej ; d?ej= Wj k;
    DWj=Wk^Wkj ; DWj=Wjy^Wyk .
    Рассмотрим локальное дифференцируемое отображение f плоскости А2 в пространстве R(p1,p2):f:A2?R(p1,p2).
    Будем считать , что в каждой точке области определения отображения f выполняется : rang f=2 (1)
    Поместим начало Р репера R в точку f-1(p1,p2). Тогда дифференциальные уравнения отображения f запишутся в виде :
    Q+W=?jWj ; Q-W=?jWj (2)
    Из (1) вытекает , что существует локальное дифференцируемое отображение f-1: R(p1,p2)?A2 обратное к f.В указанных реперах дифференциальные уравнения отображения f-1 имеют вид :
    Wj=?j(Q+W)+?j(Q-W) (3)
    Из (2) и (3) получаем :
    ?k?j+?k?j=?jk
    ?j?j=1
    ?j?j=1 (*)
    ?j?j=0
    ?j?j=0
    Указанную пару {r;R} реперов пространств А1 и А2 будем называть репером нулевого порядка отображения f.
    
    §3.Фундаментальные геометрические объекты отображения f.
    Осуществим продолжение системы (2) дифференциального уравнений отображения f.
    D(?jWj-W-Q)=0,
    получаем :
    d?j=?kWjk+1\4(?j?k-?k?j)Wk+?jkWk
    D(?jWj+W-Q)=0
    получаем :
    d?j=?kWjk+1\4(?j?k-?k?j)Wk+?jkWk
    Итак, продолженная система дифференциальных уравнений отображения f имеет вид:
    Q+W=?jWj
    Q-W=?jWj
    d?j=?kWjk+1\4(?j?k-?k?j)Wk+?jkWk
    d?j=?kWjk+1\4(?j?k-?k?j)Wk+?jkWj
    Из этих уравнений вытекает, что система величин Г1={?j,?j} является геометрическим объектом. Он называется фундаментальным геометрическим объектом первого порядка отображения f. Осуществим второе продолжение системы (2) :
    d?k^Wjk+?kdWjk+1\4(?j?k-?k?j)^Wk+1\4(?j?k-?k?j)dWk+d?jk^Wk+?jkdWk=0.
    получим:
    (d?jt-?ktWjk-?jkWtk+1\4(?k?jt-?k?jk)Wk+1\16?t?k(?j-?j)Wk)^Wt=0
    d?k^Wjk+?kdWjk+1\4d(?j?k-?k?j)^Wk+1\4(?j?k-?k?j)dWk+d?jk^Wk+?jkdWk=0
    получим:
    (d?jt-?ktWjk-?jtWtk+1\4(?k?jt-?k?jt)Wk+1\16?t?k(?j-?j)Wk)^Wt=0
    обозначим:
    ?j=d?j-?tWjt
    ?j=d?j-?tWjt
    ?jk=d?jk-?tkWkt-?jtWkt
    ?jk=d?tkWjt-?jtWkt
    Тогда дважды продолженная система дифференциальных уравнений отображения f примет вид:
    Q+W=?jWj
    Q-W=?jWj
    d?j=?kWjk+1\4(?j?k-?k?j)Wk+?jkWk
    d?j=?kWjk+1\4(?j?k-?k?j)Wk+?jkWk (4)
    ?jk=(1\4(???jk-???jk)+1\16?k??(?j-?j)+?jk?)W?
    ?jk=(1\4(???jk-???jk)+1\16?k??(?j-?j)+?jk?)W?
    Из уравнений (4) вытекает, что система величин Г2={?j,?j,?jk,?jk} образует геометрический объект. ............