Подвижные сосредоточенные источники постоянной мощности
Предельное состояние. Если следить за подвижным температурным полем, связанным с сосредоточенным источником тепла, то можно заметить, что возникающая в начале нагрева область повышенных температур с течением времени увеличивается и достигает определенных предельных размеров. Подвижное температурное поле, как бы насыщенное теплом источника, только перемещается вместе с ним. Такое состояние процесса называется предельным или установившимся.
Таким образом, процесс нагрева источником постоянной мощности делится на два периода;
I период — теплонасыщение, когда размеры связанной с источником нагретой зоны увеличиваются;
II период— предельное или установившееся состояние процесса распространения тепла, когда температурное поле остается постоянным. При неподвижном источнике тепла неподвижное поле предельного состояния называют стационарным. При подвижном источнике связанное с ним температурное поле предельного состояния называют квазистационарным. Процесс распространения тепла стремится к предельному состоянию при неограниченно длительном действии источника постоянной мощности, т. е. при t—> ∞.
Для определения уравнений, описывающих процесс распространения теплоты от движущихся непрерывно действующих источников, используют принцип наложения. С этой целью весь период действия источника теплоты разбивают на бесконечно малые отрезки времени dt. Действие источника теплоты в течение бесконечно малого отрезка времени dt представляют, как действие мгновенного источника теплоты. Суммируя процессы распространения теплоты от действующих друг за другом в разных местах тела мгновенных источников теплоты, получают уравнение температурного поля при непрерывном действии подвижного источника теплоты.
Рис. 7.1 Схема движения непрерывно действующего источника мощностью q, перемещающегося со скоростью v:
а — точечный на поверхности полубесконечного тела; б - линейный в бесконечной пластине; е — плоский в бесконечном стержне
Подвижный точечный источник теплоты на поверхности полубесконечного тела. Точечный источник теплоты постоянной мощности q движется с постоянной скоростью v прямолинейно из точки О0 в направлении оси х (рис. 7.1, а). Допустим, что с момента движения источника прошло время tН и он находится в точке О. Вместе с источником теплоты перемещается подвижная система координат, начало которой совпадает с местоположением источника теплоты, т. е. с точкой О. Требуется определить температуру точки А (х, у,z).
Для этого запишем приращение температуры в точке А от мгновенного точечного источника теплоты, который действовал в течение времени dt в точке О'. С момента выделения теплоты в точке О' прошло время t. Используем уравнение (6.1), полагая Q = qdt, а расстояние :
(7.1)
Суммируем приращения температуры от всех элементарных источников теплоты на линии ОО0. Время распространения теплоты от мгновенного источника в точке О равно нулю, а от мгновенного источника в точке О0 равно tН. Поэтому интеграл берем в пределах от 0 до tН:
(7.2)
После преобразования получим:
(7.3)
где R2=x2+y2+z2
Уравнение (7.3) выражает температурное поле в полубесконечном теле в стадии теплонасыщения, т. ............
