Федеральное агентство по образованию РФ

Тульский государственный университет

Кафедра АОТ и ОС

КУРСОВАЯ РАБОТА

по курсу информатика

"ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА"

Тула, 2007

Содержание

Введение

Метод средних прямоугольников

Метод трапеций

Метод Ньютона-Котеса

Метод Чебышева

Блок-схема основной программы

Блок-схема процедуры: метод трапеций

Блок-схема процедуры: метод Ньютона-Котеса

Блок-схема процедуры: метод Чебышева

Текст программы

Список используемой литературы

Введение

На практике редко удается вычислить точно определенный интеграл. Например, в элементарных функциях не вычисляется функция Лапласа

широко используемая в теории вероятностей для вычисления вероятностей, связанных с нормально распределенными случайными величинами.

Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла:

             (1)

от непрерывной на отрезке [a, b] функции .

Численные методы интегрирования применяются в случаях, когда не удается найти аналитическое выражение первообразной для функции  либо если функция  задана таблично. Формулы численного интегрирования называются квадратурными формулами.

Пример: Приближенное неравенство

        (2)

где qj – некоторые числа, xj – некоторые точки отрезка [a, b], называется квадратурной формулой, определяемой весами qj и узлами xj.

Говорят, что квадратурная формула точна для многочленов степени m, если при замене  на произвольный алгебраический многочлен степени m приближенное равенство (2) становится точным.

Рассмотрим некоторые широко используемые примеры приближенного вычисления определенных интегралов, квадратурные формулы.

Метод средних прямоугольников

Вычисление определенного интеграла геометрически означает вычисление площади фигуры, ограниченной кривой , прямыми х=а и х=b и осью абсцисс. Приближенно эта площадь равна сумме площадей прямоугольников.

Обозначим  , где

n – количество шагов.

Формула левых прямоугольников:

Формула правых прямоугольников:

Более точной является формула средних прямоугольников:

Метод трапеций

Площадь под кривой заменяется суммой площадей трапеций:

или

Нетрудно убедиться, что

Поскольку точность вычислений по приведенным формулам зависит от числа разбиений n исходного отрезка [a; b], то вычислительный процесс целесообразно строить итерационным методом, увеличивая n до тех пор, пока не будет выполнено условие

<

где  – значения интеграла на  шаге, а  – точность вычислений.

Метод Ньютона-Котеса

Заменим подынтегральную функцию f(x) интерполяционным многочленом Лагранжа:

 .

Тогда

;

                                               (1)

Так как dx=hdq, то

Так как , то

Окончательно получаем формулу Ньютона-Котеса:

                  (2)

Величины Hi называют коэффициентами Ньютона-Котеса. Они не зависят от f(x). Их можно вычислить заранее для различного числа узлов n (таблица 1).

Формула Ньютона-Котеса с n узлами точна для полиномов степени не выше n. Для получения большей точности не рекомендуется использовать формулы с большим числом узлов, а лучше разбивать отрезок на подотрезки, к каждому из которых применяется формула с одним и тем же небольшим числом узлов.

Таблица 1. ............