Решение проблемы континуума. (Принцип непрерывности) Гайсин М. А. Математическая проблема континуума
    Проблему континуума математики относят к числу главных проблем. Итак, проблемой континуума является вопрос существования промежуточной мощности между счетной мощностью и мощностью континуума. Континуум-гипотеза утверждает, что такой мощности нет. Математики доказали, что как существование такого множества, так и ее отсутствие не противоречат остальным аксиомам теории множеств. Тем самым пришли к выводу, что ни доказать, ни опровергнуть континуум-гипотезу невозможно. Автор же данной статьи, при решении проблемы, исходил из того, что если бы решение проблемы было в аксиоматике теории множеств, то она давно была бы решена. Поэтому автор направил свои усилия на анализ исходных принципов. Анализ проблемы.
    При анализе исходных принципов, автор пришел к выводу, что в действительности, проблемой континуума является само понимании континуума в математике.
    Итак, первая концепция континуума была представлена в виде неделимых моментов - мигов времени и неделимых точек пространства. Проблема континуума была поставлена Зеноном, выявившим парадоксы в этой концепции. Рассмотрим один из этих парадоксов, например третий. Зенон в парадоксе "Стрела" доказывает, что летящая стрела покоится. Здесь он исходит из понимания времени как суммы неделимых моментов "теперь", а пространства как суммы неделимых точек. Зенон считал, что в каждый момент времени стрела занимает место, равное своему объему, а значит, движение можно мыслить лишь как сумму "продвинутостей" - состояний покоя, так как при действительном движении предмет должен занимать место большее, чем он сам. Таким образом Зенон доказал, что атомистический континуум не позволяет движению ни существовать, ни быть мыслимым.
    Аристотель, создавая свою физику, был вынужден доказать возможность мыслить движение без противоречий, т.е. решить парадоксы Зенона. Аристотель сделал это, углубив понимание природы континуума, вводом понятия непрерывности. По Аристотелю, непрерывность - это когда у соприкасающихся друг к другу элементов, граница соприкосновения принадлежит как одному, так и другому соприкасающемуся элементу. Смежность же, это когда соприкасающиеся друг к другу элементы сохраняют свои границы. По Аристотелю, непрерывными могут быть части пространства, времени и движения. И непрерывное это то, что делится на части, всегда делимые. То есть, непрерывное не может состоять из неделимых частей. Аристотель разрешил парадоксы, которые возникли в физике, при допущении атомарности пространства и времени, показав возможность мыслить движение как непрерывный процесс, а не как сумму "продвинутостей". Автора данной статьи, восхитила глубина мысли Аристотеля, которая до сих пор полностью не осознана, и считает, что теория континуума Аристотеля, является фундаментом не только физики, но и математики, так как принцип непрерывности дана Аристотелем с соблюдением строгой математической логики. Решение проблемы.
    А как же обстоят дела с пониманием природы континуума в современной математике? Посмотрим это на примере решения математической проблемы континуума. Математическая проблема континуума задана в категории актуальной бесконечности. ............