СОДЕРЖАНИЕ:
     1. Уравнения с одним неизвестным 2. Уравнения первой степени с двумя неизвестными 3. Примеры уравнений второй степени с тремя неизвестными 4. Общий случай уравнения второй степени с двумя неизвестными Р А З Р А Б О Т К А П Р О Г Р А М М 5. Программа №1 (уравнения с одним неизвестным)
    ВВЕДЕНИЕ
    Мой курсовой проект посвящен одному из наиболее интересных разделов теории чисел - решению уравнений в целых числах.
    Решение в целых числах алгебраических уравнений с целыми коэффициентами более чем с одним неизвестным представляет собой одну из труднейших проблем теории чисел.
    Проблема решения уравнений в целых числах решена до конца только для уравнений второй степени с двумя неизвестными. Отметим, что для уравнений любой степени с одним неизвестным она не представляет сколько-нибудь существенного интереса, так как эта задача может быть решена с помощью конечного числа проб. Для уравнений выше второй степени с двумя или более неизвестными весьма трудна не только задача нахождения всех решений в целых числах, но даже и более простая задача установления существования конечного или бесконечного множества таких решений.
    В своем проекте я постаралась изложить некоторые основные результаты, полученные в теории; решения уравнений в целых числах. Теоремы, формулируемые в нем, снабжены доказательствами в тех случаях, когда эти доказательства достаточно просты.
    
    1. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
    Рассмотрим уравнение первой степени с одним неизвестным (1) Пусть коэффициенты уравнения и - целые числа. Ясно, что решение этого уравнения будет целым числом только в том случае, когда нацело делится на . Таким образом, уравнение (1) не всегда разрешимо в целых числах; так, например, из двух уравнений и первое имеет целое решение , а второе в целых числах неразрешимо.
    С тем же обстоятельством мы встречаемся и в случае уравнений, степень которых выше первой: квадратное уравнение имеет целые решения , ; уравнение в целых числах неразрешимо, так как его корни ,иррациональны.
    Вопрос о нахождении целых корней уравнения n-ой степени с целыми коэффициентами (2) решается легко. Действительно, пусть - целый корень этого уравнения. Тогда , . Из последнего равенства видно, что делится без остатка; следовательно, каждый целый корень уравнения (2) является делителем свободного члена уравнения. Для нахождения целых решений уравнения надо выбрать те из делителей , которые при подстановке в уравнение обращают его в тождество. Так, например, из чисел 1, -1, 2 и -2, представляющих собой все делители свободного члена уравнения , только -1 является корнем. Следовательно это уравнение, имеет единственный целый корень . Тем же методом легко показать, что уравнение в целых числах неразрешимо.
    Значительно больший интерес представляет решение в целых числах уравнении с многими неизвестными.
    
    2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
    
    Рассмотрим уравнение первой степени с двумя неизвестными , (3) где и - целые числа, отличные от нуля, а - произвольное целое. Будем считать, что коэффициенты и не имеют общих делителей, кроме единицы. ............